Calcul d'une primitive d'une fonction

PropriétéPrimitives des fonctions de référence

Dans le tableau suivant, on note\(f\)une fonction définie sur un intervalle

I

et

F

une primitive de\(f\)sur cet intervalle

I

. Dans ce tableau,

n

représente un entier.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline{}\boldsymbol f & \boldsymbol F & \boldsymbol I\\\hline0 & a & \mathbb R\\\hline{}a & ax & \mathbb R\\\hline{}x^n (n\geqslant 1) & \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} & \mathbb R\\\hline\dfrac{1}{\sqrt x} & 2\sqrt x& ]0~;+\infty[\\\hline\dfrac{1}{x^n} (n\geqslant 2) & \dfrac{-1}{(n-1)x^{n-1}}& ]-\infty~;~0[ \text{ ou } ]0~;+\infty[\\\hline\dfrac1x & \ln x& ]0~;+\infty[\\\hline\text e^x & \text e^x& \mathbb R\\\hline\cos x & \sin x& \mathbb R\\\hline\sin x & -\cos x& \mathbb R\\\hline\hline\end{array}

Exemples

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto 2

sur \(\mathbb R\)est

x \mapsto 2x

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto x^2

sur \(\mathbb R\)est

x \mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto x^3

sur \(\mathbb R\)est

x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x^2}

sur\(]0~;+\infty[\) est

x \mapsto -\dfrac{1}{x}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x^3}

sur \(]0~;+\infty[\)est

x \mapsto -\dfrac{1}{2x^{2}}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x^4}

sur \(]0~;+\infty[\)est

x \mapsto -\dfrac{1}{3x^{3}}

.

Théorème\(\)

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

et telle que, pour tout

x

de

I

, on a

f(x)=u(x)+v(x)

.
On suppose que 

u

et

v

sont deux fonctions admettant sur

I

des primitives

U

et

V

respectivement.
Alors une primitive

F

de

f

sur

I

est définie, pour tout

x

de

I

, par

F(x)=U(x)+V(x)

.

Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur

]0 \ ;+\infty[

par

f(x)=x^2+\dfrac 1x

.Déterminerune primitive de

f

sur

]0 \ ;+\infty[

.

Solution

Une primitive de

x \mapsto x^2

sur

]0 \ ;+\infty[

est

x \mapsto \dfrac13x^3

.
Une primitive de

x \mapsto \dfrac1x

sur

]0 \ ;+\infty[

est

x \mapsto \ln x

.
Alors, par somme, une primitive

F

de

f

sur

]0 \ ;+\infty[

 estla fonction définie sur

]0 \ ;+\infty[

par

F(x)=\dfrac13x^3+\ln x

.

Théorème\(\)

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

et telle que, pour tout \(x\) de

I

, on a 

f(x)=k\times u(x)

, avec

k\in\mathbb R

. 
On suppose que 

u

 est une fonction admettantsur

I

une primitive 

U

.
Alors une primitive

F

de

f

sur

I

est la fonction définie, pour tout\(x\) de

I

, par

F(x)=k\times U(x)

.

Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur 

\mathbb R

par

f(x)=3x

.Déterminer une primitive de

f

sur

\mathbb R

.

Solution

Une primitive sur 

\mathbb R

de

x\mapsto x

est

x\mapsto \dfrac12x^2

.
Alors par produit, une primitive sur 

\mathbb R

de

x\mapsto 3x

est

x\mapsto 3\times \dfrac12x^2=\dfrac32x^2

.

Propriété

Dans le tableau suivant, on note\(f\)une fonction définiesur un intervalleet

F

une primitive de\(f\)sur cet intervalle. 

\begin{array}{|c|c|} \hline \boldsymbol{f(x)} & \boldsymbol{F(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} u'(x)u(x)^n \quad (n\in\mathbb N) & \dfrac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{[u(x)]^n} \text{ où }(n\geqslant 2) & \dfrac{-1}{(n-1)[u(x)]^{n-1}} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \text{ avec } u(x)>0& 2\sqrt{u(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \dfrac{u'(x)}{u(x)} \text{ avec } u(x)>0 & \ln[u(x)] \\ \hline u'(x)\text e^{u(x)} & \text e^{u(x)} \\ \hline \rule[-0.5cm]{0pt}{1.2cm} \text e^{ax+b}\ (a\neq 0) & \dfrac1a\text e^{ax+b} \\ \hline \cos(ax+b) \ (a\neq 0) & \dfrac1a \sin(ax+b) \\ \hline \sin(ax+b) \ (a\neq 0)& -\dfrac1a \cos(ax+b) \\ \hline\end{array}

Exemples
1. a.Une primitive de

x\mapsto 2x(x^2+1)

sur

\mathbb R

est

x\mapsto \dfrac 12(x^2+1)^2

.
En effet, on pose

u(x)=x^2+1

, alors

u'(x)=2x

.
Et

2x(x^2+1)=u'u^1(x)

, dont une primitivesur 

\mathbb R

est

x\mapsto \dfrac{1}{2}u^2(x)

.b.Une primitive de

x\mapsto (7x+1)^2

sur

\mathbb R

est

x\mapsto \dfrac{1}{21}(7x+1)^3

.
En effet, on pose

u(x)=7x+1

, alors

u'(x)=7

. 
Or

u'u^2(x) = 7(7x+1)^2

soit

\dfrac17u'u^2(x) = (7x+1)^2

. 
Comme une primitive de

u'u^2

est

\dfrac13u^3

, alors une primitive de

\dfrac17u'u^2

est

\dfrac17\times \dfrac13u^3=\dfrac{1}{21}u^3

.

2. a.Une primitive de

x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}

sur

\mathbb R

est

x\mapsto \ln(x^2+1)

.
En effet, on pose

u(x)=x^2+1

, donc

u'(x)=2x

.
On a bien

\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{u'(x)}{u(x)}

.
Comme pour tout réel

x

,

u(x)>0

 alors une primitive de 

x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}

sur

\mathbb R

est

x\mapsto \ln(u(x))

.b.Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{3x+2}

sur\(\left]-\dfrac23~;+\infty\right[\) est

x \mapsto \dfrac{1}{3}\ln(3x+2)

.
En effet, on pose

u(x)=3x+2

, d'où

u'(x)=3

.
Or,

\dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{3}{3x+2}

et,

\dfrac{1}{3x+2} = \dfrac13\dfrac{u'(x)}{u(x)}

. Comme pour tout

x>-\dfrac23

,

u(x)>0

, alors une primitive de 

x \mapsto \dfrac{1}{3x+2}

 sur \(\left]-\dfrac23~;+\infty\right[\) est 

x\mapsto \dfrac13\ln(u(x))

.

3.Une primitive de 

x\mapsto \sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)

sur

\mathbb R

est

x\mapsto -\dfrac12\cos\left(2x+\dfrac\pi4\right)

.

Primitives usuelles