RègleLes valeurs interdites liées aux fractions
Un quotient existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
Exemples
- Lorsqu'on écrit l'expression \(\dfrac{3x-1}{x}\), le dénominateur est\(x\).On ne peut pas remplacer\(x\) par zéro carla division par zéro n'existe pas.Par conséquent,\(0\) est une valeur interdite pour cette expression.Donc l'expression \(\dfrac{3x-1}{x}\) existe si et seulement si \(x\in \mathbb{R}^*= \left]-\infty;0\right[ \cup\left]0;+\infty\right[\).
- Lorsqu'on écrit l'expression\(\dfrac{1-x}{x+2}\), le dénominateur est\(x+2\).Ce dénominateur ne peut pas être égal à \(0\).Pour trouver la valeur interdite, on résout l'équation\(x+2=0\) qui équivaut à \(x=-2\).Donc l'expression \(\dfrac{1-x}{x+2}\) existe si et seulement si \(x\in \mathbb{R} \backslash \{-2\}=\left]-\infty;-2\right[\cup \left]-2;+\infty\right[\).
RègleLes valeurs interdites liées aux racines carrées
Une expression avec un radical existe si et seulement si ce qui est à l'intérieur de celui-ci est positif ou nul.
Exemples
- Lorsqu'on écrit l'expression\(\sqrt{x+3}\),l'expression sous le radical doit être positive ou nulle.Autrement dit :\(\sqrt{x+3}\) existe si et seulement si \(x+3\geq0\), c'est-à-dire si et seulement si `x\geq -3`.Donc l'expression `\sqrt{x+3}` existe si et seulement si `x\in \[-3;+\infty[`.Il y a ici une infinité de valeurs interdites qui correspondent à l'intervalle `\]-\infty;-3\[`.
- Lorsqu'on écrit l'expression\(\sqrt{1-x}\),l'expression sous le radical doit être positive ou nulle.Autrement dit :\(\sqrt{1-x}\) existe si et seulement si \(1-x\geq0\), c'est-à-dire si et seulement si `1\geq x`.Donc l'expression `\sqrt{1-x}` existe si et seulement si `x\in \]-\infty;1]`.Il y a ici une infinité de valeurs interdites qui correspondent à l'intervalle `\]1;+\infty\[`.
Première identité remarquable
PropriétéPremière identité remarquable (carré d'une somme)
Pour tous réels
et
, on a l'égalité suivante :
.
Vocabulaire
est appelé ledouble produit.
Remarque
Une égalité se lit dans les deux sens.
- Lorsqu'on lit la première identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
- Lorsqu'on lit la première identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
Démonstration
Soit
et
deux nombres réels, on a
.
D'après la double distributivité, on a :
.
ExemplesDéveloppement
Développons les expressions suivantes en utilisant la première identité remarquable.
- \((3+x)^2=3^2 +2\times 3\times x+x^2=9+6x+x^2\).
- \((4x+2)^2=\color{red}(4x\color{red})^2+2\times 4x\times2+2^2=16x^2+16x+4\). Ne pas oublier les parenthèses autour de \(4x\) !
- \(\left(\dfrac{1}{2}+x\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2\times \dfrac{1}{2}\times x+x^2=\dfrac{1}{4}+x+x^2\). Ne pas oublier les parenthèses autour de\(\dfrac{1}{2}\) !
ExemplesFactorisation
Factorisons les expressions suivantes grâce à la première identité remarquable.
.
.
ExempleApplication pour le calcul numérique
Écrivons le nombre
sous la forme
, où
et
sont des nombres réels positifs.
.
Remarque
Pour calculer
, il est inutile d'utiliser la première identité remarquable.
En effet, on a :
.
Première identité remarquable - Démonstration géométrique
PropriétéPremière identité remarquable
Soit
et soit
.
On a
.
DémonstrationDans le cas où\(\boldsymbol a\) et\(\boldsymbol b\) sont des réels positifs
On considère un "grand" carré dont le côté mesure
unités de longueur.
- Détermination de l'aire du grand carré - première méthode
On sait que l'aire d'un carré est le produit de son côté par son côté.
Comme le côté du grand carré mesure
unités de longueur, son aire est :
unités d'aire, c'est-à-dire
.
- Détermination de l'aire du grand carré - seconde méthode
On découpe le grand carré ainsi :
- le carré bleu a un côté qui mesure \(a\)unités de longueur et donc son aire vaut \(a^2\) ;
- le carré orange a un côté qui mesure \(b\) unités de longueurs et donc son aire vaut \(b^2\) ;
- les deux rectangles verts ont les mêmes dimensions et ont donc la même aire qui vaut \(a\times b\).
L'aire du grand carré s'obtient en additionnant l'aire du carré bleu avec celle du carré orange et avec les deux aires identiques des rectangles verts.
Donc l'aire du grand carré dont le côté mesure
(unités de longueur) vaut :
.
On vient de déterminer de deux manières différentes l'aire du grand carré. Elles sont donc égales.
Par conséquent, on obtient :
.
Deuxième identité remarquable
PropriétéDeuxième identité remarquable (carré d'une différence)
Pour tous réels
et
, on a :
.
Remarques
- Le double produit est précédé d'un signe moins.
- Lorsqu'on lit la deuxième identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
- Lorsqu'on lit la deuxième identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
Démonstration
Soit
et
deux nombres réels.
On utilise la première identité remarquable.
On a ainsi :
.
ExemplesDéveloppement
Développons les expressions suivantes.
- `(3-x)^2=3^2-2\times 3\times x+x^2=9-6x+x^2`.
- \(\left(\dfrac{2}{3}-6x\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-2\times\dfrac{2}{3}\times6x+(6x)^2=\dfrac{4}{9}-\dfrac{2\times 2\times 6x}{3}+36x^2=\dfrac{4}{9}-8x+36x^2\)
ExemplesFactorisation
Factorisons les expressions suivantes.
- \(1-2x+x^2=1-2\times 1\times x+x^2=(1-x)^2\).
- \(\dfrac{1}{4}-x+x^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2\times \dfrac{1}{2}\times x+x^2=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2\).
ExempleApplication au calcul numérique
Écrivons le nombre
sous la forme de
, où
et
sont des nombres réels positifs :
.
Troisième identité remarquable
PropriétéTroisième identité remarquable (produit de deux expressions conjuguées)
Pour tous réels
et
, on a
.
Démonstration
Soit
et
deux nombres réels.
Par double distributivité, on a :
.
Vocabulaire
Les expressions
et
sont ditesconjuguées.
Remarques
- Cette troisième identité remarquable ne comporte pas de double produit.
- Lorsqu'on lit la troisième identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
- Lorsqu'on lit la troisième identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
ExemplesDéveloppement
Développons les expressions suivantes.
- \(A(x)=(2-x)(2+x)=2^2-x^2=4-x^2\).
- \(B(x)=\left(\dfrac{2}{3}-4x\right)\left(\dfrac{2}{3}+4x\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-(4x)^2=\dfrac{4}{9}-16x^2\).
ExemplesFactorisation
Factorisons les expressions suivantes.
- \(C(x)=25x^2-9=(5x)^2-3^2=(5x+3)(5x-3)\).
- \(D(x)=7-x^2=(\sqrt7)^2-x^2=(\sqrt7-x)(\sqrt7+x)\).
ExempleApplication au calcul numérique
Effectuons le calcul suivant.
.
Exempleécrire sans radical au dénominateur
Écrivons sous la forme d'un nombre réel :
.
On a ici introduit l'expression conjuguée de
, c'est-à-dire
, et utilisé la troisième identité remarquable.