Compléments sur la dérivation

Définition

Soit 

u

 une fonction définie sur un intervalle

I

et

v

 une fonction définie sur un intervalle

J

 tel que, pour tout

x \in I

,

u(x) \in J

.

Lacomposéede 

u

par

v

est la fonction, notée

v \circ u

, définiesur

I

 par : pour tout réel\(x \in I\),

(v \circ u)(x)=v(u(x))

.

Exemples

1.On considère les fonctions

u

et

v

 définies sur

\mathbb{R}

par

u(x)=-4x+7

et

v(x)=\text{e}^x

.

v \circ u

 est définie sur

\mathbb{R}

et \(\forall x \in \mathbb{R},\ (v\circ u)(x)=\text{e}^{-4x+7}\).

u \circ v

 est définie sur

\mathbb{R}

et \(\forall x \in \mathbb{R},\ (u\circ v)(x)=-4\text{e}^x+7\).

2.On considère la fonction 

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(x^2-3x+5)^4

. Alors

f=v \circ u

où

u

et

v

 sont les fonctions définies sur

\mathbb{R}

par

u(x)=x^2-3x+5

et

v(x)=x^4

.

Remarque

Dans la plupart des cas, on a

u \circ v \neq v \circ u

.

Théorème

Soit

u

 une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

 et soit

v

 une fonction définie et dérivable sur un intervalle

J

.
On suppose de plus que, pour tout

x \in I,\ u(x) \in J

.
Alors la fonction

v \circ u

 est dérivable sur

I

et

\boxed{(v \circ u)'=u' \times (v'\circ u)}

.

Exemple

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(4x-3)^5

.

f= v \circ u

où

u

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

u(x)=4x-3

et

v

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

v(x)=x^5

.La fonction \(u\)est dérivable sur

\mathbb{R}

et

\forall x \in \mathbb{R},\ u'(x)=4

.La fonction \(v\)est dérivable sur

\mathbb{R}

et

\forall x \in \mathbb{R},\ v'(x)=5x^4

.La fonction \(f\)est donc dérivable sur

\mathbb{R}

et

\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=u'(x) \times (v'\circ u)(x)

.

\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times v'(u(x))

.

\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times v'(4x-3)

.

\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times 5(4x-3)^4

.

\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=20\times (4x-3)^4

.

Du théorème de dérivation des fonctions composées, on peut déduire letableausuivant dans lequel

I

 est un intervalle de

\mathbb{R}

et

u

 est une fonction définie et dérivable sur

I

.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline & & & & \\ \text{Fonction}\ f& u^n,\ n \in \mathbb{N}^* & \displaystyle\frac{1}{u^n},\ n \in \mathbb{N}^* & \sqrt{u} & \text{e}^u\\ & & & & \\\hline & & & & \\\text{Fonction}\ f' & nu'u^{n-1} & -\displaystyle\frac{nu'}{u^{n+1}} & \displaystyle\frac{u'}{2\sqrt{u}} & u'\text{e}^u\\ & & & & \\\hline \text{Condition supplémentaire} && u \text{ ne s'annule pas sur } I & u>0\text{ sur } I& \\\hline\end{array}

Exemples

1.On considère la fonction

f

 définie sur

[-2\ ;\ +\infty[

par

f(x)=\sqrt{3x+6}

.
On pose

u(x)=3x+6

 alors

u'(x)=3

.On a donc \(f(x)=\sqrt{u(x)}\).

f

 est dérivable sur

]-2\ ;\ +\infty[

et

\forall x \in ]-2\ ;\ +\infty[,\ f'(x)=\displaystyle\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}

.

2.On considère la fonction

g

 définie sur

\mathbb{R}

par

g(x)=\text{e}^{-x^2}

.
On pose

u(x)=-x^2

 alors

u'(x)=-2x

.On a donc \(g(x)=\text{e}^{u(x)}\).

g

est dérivable sur

\mathbb{R}

et

\forall x \in \mathbb{R},\ g'(x)=u'\text{e}^{u(x)}=2x\text{e}^{-x^2}

.

3.On considère la fonction

h

 définie sur

\mathbb{R}

par

h(x)=\displaystyle\frac{1}{(2x^2+x+3)^5}

.
On pose

u(x)=2x^2+x+3

alors

u'(x)=4x+1

.On a donc \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{(u(x))^5}\).

h

 est dérivable sur

\mathbb{R}

et

\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x)=-\displaystyle\frac{5(u'(x))}{(u(x))^6}=-\displaystyle\frac{5(4x+1)}{(2x^2+x+3)^6}

.

Dérivée et composée