Propriété (rappel)
Soit `\text{ABC}`un triangle rectangle en
. Pour tout
point de
, la droite
parallèle à
passant par
coupe
. Si on appelle
le point d'intersection de
et
, on a
et
Cette propriété découle du théorème de Thalès appliqué aux triangles emboîtés
et
. On remarque que le triangle
est rectangle en
.
Définition
Soit `\text{ABC}`un triangle rectangle en
.
On définit les réels suivants :
;
;
Remarque
Dans ce chapitre, la notation
indique aussi bien l'angle géométrique, de sommet le point
et de côtés les demi-droites
et
que sa mesure.
Définition
Soit
un cercle et
un point de
. La tangente à
au point
est la droite n'ayant qu'un seul point d'intersection avec
: le point
.
Remarque
Le mot tangente provient du latintangerequi signifie toucher.
Propriété (admise)
Soit
le centre du cercle
. La tangente au cercle au point
est perpendiculaire à la droite
.
Cercle trigonométrique
Définition
Dans un repère orthonormé du plan
, lecercle trigonométriqueest le cercle de centre
et derayon \(1\)parcouru dans lesens direct, contraire à celui des aiguilles d'une montre.
Remarques
- Le sens de parcours du cercle trigonométrique s'appelle le sens trigonométrique, le sens direct ou le sens antihoraire.
- Le sens de parcours contraire au sens direct s'appelle le sens anti-trigonométrique, le sens indirect ou le sens horaire.
Mesure en radians d'un angle orienté
Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).
Définition
Soit
un point du cercle trigonométrique.
L'angle\(\widehat{\text{IOM}}\)muni du sens trigonométrique s'appelleangle orienté.
Propriété
Soit\((d)\)la droite tangente au cercle trigonométrique au point
et
un nombre réel. Par enroulement de la droite\((d)\)autour du cercle trigonométrique, à tout point de
de coordonnées
, on associe un unique point
\text{M}
du cercle trigonométrique.
• On dit que
\text{M}
est l'imagedu réel
par l'enroulement de la droite
sur le cercle trigonométrique.
• Le réel
x
se nommemesure de l'angle \(\widehat{\text{IOM}}\)en radians.
• Le radian est une unité de mesure d'angles orientés.
Propriété
Lorsque
0\leq x\leq 2\pi
, la mesure d'un angle orienté en radians correspond à la longueur de l'arc de cercle d'extrémités
et
, noté
.
Propriété
Deux points de la droite numérique d'ordonnées respectives
x
et
y
correspondent, par enroulement, au même point du cercle trigonométrique lorsque
y-x
est un multiple de
2\pi
, soit lorsqu'il existe un entier relatif
k
tel que
y-x=2k\pi
.
Remarque
La propriété précédente implique que, étant donné l'angle orienté\(\widehat{\text{IOM}}\), plusieurs mesures en radians peuvent lui être associées.
Le fichier de géométrie dynamique permet d'observer l'enroulement de la droite
(d)
sur le cercle trigonométrique.
Points du cercle trigonométrique - Exemples
• Le point de la droite
d'ordonnée
\pi/2
correspond, par enroulement, au point du cercle trigonométrique de coordonnées
(0;1)
.
• Le point de la droite
d'ordonnée
\pi
correspond, par enroulement, au point du cercle trigonométrique de coordonnées
(-1;0)
.
• Le point de la droite
d'ordonnée
2\pi
correspond, par enroulement, au point du cercle trigonométrique de coordonnées
(0;1)
. On retrouve la mesure de la longueur du cercle de rayon
1
.
• Le point de la droite
d'ordonnée
\pi / 4
correspond, par enroulement, au point
du cercle trigonométrique tel que la longueur de l'arc
soit égale à un quart de celle du demi-cercle. On en déduit la mesure en degrés de l'angle\(\widehat{\text{IOM}}\)soit
.
Remarque
Lorsque
x
est négatif, on considère l'arc de cercle dans le sens indirect. Ainsi, le point de la droite numérique d'abscisse
-\pi/2
correspond, par enroulement, au point du cercle trigonométrique de coordonnées
(0;-1)
.
• Les points de la droite
d'ordonnées respectives
a=\pi/2
et
b=\frac{9\pi}{2}
correspondent, par enroulement, au point du cercle trigonométrique de coordonnées
(0;1)
. La différence
b-a=4\pi
est bien un multiple de
2\pi
.
• Les point de la droite
d'ordonnées respectives
a=\pi/6
et
b=-\frac{11\pi}{6}
correspondent, par enroulement, au même point du cercle trigonométrique. En effet, la différence
b-a=-2\pi
est bien un multiple de
2\pi
.
Mesure principale d'un angle orienté
Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).
Définition
Soit\(\text M\)un point du cercle trigonométrique.
On appelle mesure principale de l'angle orienté
la mesure de l'angle orienté\(\widehat{\text{IOM}}\)appartenant à l'intervalle
]-\pi; \pi]
.
Exemples
En se référant à la figure précédente :
• la mesure principale de l'arc orienté\(\widehat{\text{IOI}}\)est
0
;
• la mesure principale de l'arc orienté\(\widehat{\text{IOJ}}\)est`\pi /2` ;
• la mesure principale de l'arc orienté\(\widehat{\text{IOJ'}}\)est `-\pi /2` ;
• soit\(\text M\)le point du cercle trigonométrique tel que la mesure en degrés de l'angle`\hat{\text{IOM}}`soit`30°`, alors la mesure principale de l'arc orienté`\hat{\text{IOM}}`est`\pi/6`.
✎ Détermination de la mesure principale - Méthode
Méthode
Lorsqu'on souhaite déterminer la mesure principale d'un angle orienté de mesure
x
, on cherche un réel
x'
appartenant à l'intervalle
]-\pi; \pi]
et un entier
k
tels que
x=x'+2k\pi
.
Exemples
• La mesure principale de l'angle orienté de mesure
x=12\pi
est
x'=0
. En effet,
. On remarque également que
x
est multiple de
2\pi
.
• La mesure principale de l'angle orienté de mesure
x={7\pi] /3
est
x'=\pi / 3
. En effet,
x=\pi / 3+2\pi
.
• La mesure principale de l'angle orienté de mesure
x=-{14\pi] /3
est
x'=-{2\pi} / 3
. En effet,
x=-{2\pi} /3-4\pi
.
• La mesure principale de l'angle orienté de mesure
x={101\pi] /6
est
x'={5\pi} / 6
. En effet,
x={5\pi} /6+16\pi
.
• La mesure principale de l'angle orienté de mesure
x={15\pi] /2
est
x'=-{\pi} / 2
. En effet,
x={\pi} /2+7\pi=-{\pi} /2+8\pi
. On remarque que la mesure principale est bien
et non
. En effet,
est bien un multiple de
, ce qui n'est pas le cas de
.