Définitions
On considère une équation.
Résoudre cette équation, c'est déterminer la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent vraies l'égalité.
Ces valeurs sont lessolutionsde l'équation.
Remarque
Dans un équation, l'inconnue est souvent appelée
.
Exemple 1
Résolvons l'équation
.
Première étape
J'ajoute
à chaque membre de l'égalité :
ce qui équivaut à
.
On a choisi d'ajouter
à chaque membre de l'égalité pour qu'il n'y ait plus qu'un terme "en
" dans le membre de gauche de l'égalité.
Seconde étape
On divise par
chaque membre de l'égalité :
ce qui équivaut à
(explications :
).
On a choisi de diviser par
chaque membre de l'égalité pour qu'on "isole
" c'est-à-dire qu'on obtienne une équation de la forme\(x= ...\)
On a réussi à trouver la valeur de l'inconnue : l'équation a une seule solution qui est le nombre
.
Ceci s'écrit :
.
Exemple 2
Résolvons l'équation
.
On commence par regrouper les termes "en
" dans un seul membre de l'égalité, par exemple dans celui de gauche.
ce qui équivaut à
.
(explications : on a effectué dans le membre de gauche
et dans le membre de droite
).
On est alors ramené à ce qu'on a vu dans l'exemple1.
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
.
Conclusion :
.
Résoudre une équation
Résoudre les équations suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
☛ Roses et tulipes
Énoncé
Dans un jardin, il y a deux types de fleurs : des roses et des tulipes. On sait qu'il y a 150 fleurs en tout et que le nombre de roses est égal au double du nombre de tulipes.
1.Soit
le nombre de tulipes. Exprimer en fonction de
le nombre de roses.
2.Écrire une équation qui traduit la situation.
3.Résoudre cette équation pour trouver le nombre de tulipes et de roses dans le jardin.
Solution
1.Le nombre de roses est égal au double du nombre de tulipes. Donc le nombre de roses est
.
2.L'équation qui traduit la situation est :
x + 2x = 150
.
3.Cette équation est équivalente à
3x = 150
.
Ensuite, on divise les deux membres de l'équation par 3 et on obtient :
x = 50
.
La solution de cette équation est
50
.
Donc, il y a 50 tulipes dans le jardin.
2x = 2 \times 50 = 100
.
Il y a donc 100 roses dans le jardin.
☛ Une histoire d'âge
Énoncé
Il y a 10 ans, l'âge de Paul était le triple de celui de Sophie, sa fille. Aujourd'hui, Paul a 55 ans. Quel âge a Sophie ?
Solution
Soit
l'âge de Sophie aujourd'hui.
Il y a 10 ans, Paul avait
55 - 10 = 45
ans.
Il y a 10 ans, l'âge de sa fille était
.
Selon l'énoncé, il y a 10 ans, l'âge de Paul était le triple de celui de sa fille.
On peut donc écrire l'équation suivante.
45 = 3(x - 10)
On résout cette équation et on obtient comme solution :
x=25
.
Sophie a aujourd'hui
25
ans.
Un peu de géométrie
On considère les deux figures ci-dessous : un triangle équilatéral et un rectangle.
Soit
un nombre positif.
Pour quelle valeur de
, le périmètre du triangle est-il égal au périmètre du rectangle ?