Exercices bilan et problèmes

On applique une tension sinusoïdale

u

 aux bornes d’un circuit électrique comportant
en série une résistance et une diode idéale.

Le temps

t

 est exprimé en secondes et

u

en Volts.
La tension est donnée par la fonction

u

 définie pour tout réel

t \geqslant 0

 par : 

u\left(t\right) = \sqrt{3} \sin\left(100 \pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)

.

La diode est non passante si

u\left(t\right) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}

  et elle est passante si 

u\left(t\right) > \dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

1.La diode est-elle passante à l’instant

t = 0

?

2.Calculer 

u\left(\dfrac{1}{100}\right)

. Interpréter le résultat.

3.On admet que 

u\left(t + \dfrac{2}{100}\right) = u\left(t\right)

 pour tout

t \geqslant 0

. En déduire une propriété de la fonction

u

.

D'après un sujet d'E3C 2020 

\text{ABCD}

est un carré de côté 

c

. Soit 

\text{I}

et

\text{J}

 les milieux des segments 

[\text{AB}]

et

[\text{CD}]

.

On place le point 

\text{M}

 sur le segment 

[\text{IJ}]

 tel que le triangle 

\text{DCM}

 soit équilatéral. 

1.Justifier que l'angle 

\widehat{\text{MAI}}

 mesure 

\dfrac{\pi}{12}

 radians. 

2.Déterminer les longueurs 

\text{IM}, \text{MJ} \text{ et }\text{AM}

 en fonction de 

c

.

3.En déduire les valeurs exactes de

\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

et

\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

.

Déterminer la valeur du réel 

a

 pour laquelle la fonction 

f

 définie sur

\mathbbR

par

f(x) = \dfrac{a + \cos^2\left(x\right)}{2 + \sin^2\left(x\right)}

est constante.

Tension aux bornes d'un circuit