La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier
et a enregistré
inscriptions pour l’année
.
Elle estime que, chaque année,
% des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année suivante et qu’il y aura également
nouveaux adhérents.
Pour tout entier naturel
, on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque
années après
par une suite numérique
définie par
et
.
1.Calculer
et
.
2.On pose, pour tout entier naturel
,
.
a.Démontrer que
est une suite géométrique de raison
. Préciser son premier terme.
b.Exprimer, pour tout entier naturel
,
en fonction de
.
c.En déduire que, pour tout entier naturel
,
.
d.Déterminer le plus petit entier naturel
tel que
. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Élimination d'un médicament
On injecte dans le sang d’un malade
cm
d’un médicament. On admet que le processus d’élimination du médicament peut être modélisé par une suite
, dont le terme général
représente le volume en cm
de médicament présent dans le sang au bout de
heures,
étant un entier naturel. Dans ce modèle, on considère que le volume de médicament contenu dans le sang diminue de
% chaque heure.
1.Vérifier que
et donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
2. a.Pour tout entier naturel
, exprimer
en fonction de
. b.En déduire la nature de la suite
. Préciser sa raison et son premier terme.
3.Pour que le médicament soit actif, le volume de médicament présent dans le sang du malade doit rester supérieur à un certain seuil
; ce seuil dépend du malade.
a.À l’aide d’une fonction écrite en langage Python, on se propose de déterminer, en fonction de
, le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif. Compléter le programme écrit en Python ci-dessous.
b.On s’intéresse au cas d’un malade pour qui ce seuil est estimé à
cm
. Que doit-on saisir pour exécuter la fonctionvolMedicamentafin qu’elle renvoie le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade ? Quel est alors ce nombre d’heures ?
Prix du téléphone
Un téléphone coûte
euros lors de son lancement. Tous les ans, le fabricant sort une nouvelle version de ce téléphone. Le prix de ce téléphone augmente de
% chaque année.
On note
le prix du téléphone en euros
années après son lancement. On a donc
.
1.Calculer
et
. Interpréter les résultats.
2.Exprimer
en fonction de
, pour tout entier naturel
, et en déduire la nature de la suite
. Préciser sa raison et son premier terme.
3.Exprimer, pour tout entier
,
en fonction de
.
4.Recopier et compléter sur la copie la fonction Python ci-dessous pour qu’elle détermine le nombre minimum d’années nécessaires afin que le prix du téléphone dépasse
euros.
5.Quelle est la valeur de
renvoyée par cette fonction Python ?
Augmentation de la température moyenne
En France métropolitaine,
a été l'année la plus chaude d’après les relevés météorologiques. La température moyenne y a été de
C ; elle a dépassé de
C la normale de référence calculée sur la période
. (Source : site Météo France.)
1.Pour modéliser la situation, on considère l’année
comme l’année zéro et on suppose que cette hausse moyenne de
C par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel
, on note alors
la température moyenne annuelle en France pour l’année
.a.Quelle est la nature de la suite
ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
b.On considère qu’au-delà d’une température moyenne de
C les corps ne se refroidissent pas et il devient insupportable pour les humains de continuer à habiter cette région que l’on qualifie alors d’inhabitable. Selon le modèle considéré, en quelle année la France deviendrait-elle inhabitable pour les humains ? Justifier.
2.À cause du réchauffement climatique, certaines régions risquent de connaître une baisse de
% par an des précipitations moyennes annuelles mesurées en millimètres (mm). Dans une région du nord de la France, les précipitations moyennes annuelles étaient de
mm en
. On considère l’année
comme l’année zéro et on suppose que cette baisse de
% par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel
, on note
les précipitations annuelles moyennes en mm dans cette région pour l’année
.a.Quelle est la nature de la suite
ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.b.Pour tout entier naturel
, exprimer
en fonction de
.c.On donne le programme Python suivant :
L’exécution de precipitations(300) renvoie la valeur
. Que représente cette valeur pour le problème posé ?
Une commande de flacons
Durant le mois de janvier
, une entreprise produit
flacons de parfum, ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de
flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de
%.
On considère la suite
où, pour tout entier naturel
,
modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang
après janvier
; ainsi
est le nombre de flacons produits en janvier
,
le nombre de flacons produits en février
, etc.
De la même manière, on considère la suite
où, pour tout entier naturel
,
modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang
après janvier
.
On a donc
.
1.Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février
.
2.Déterminer la nature des suites
et
.
3.Exprimer, pour tout entier
,
et
en fonction de
.
4.On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-contre, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable
n
contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
5.De début janvier
à fin décembre
, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer la démarche.
On rappelle que :
• Si
est une suite arithmétique de premier terme
, alors, pour tout entier naturel
,
.
• Si
est une suite géométrique de raison
, alors, pour tout entier naturel
,
.
Évolution des personnages dans un jeu vidéo
Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles. Au début du parcours, ce personnage est doté de
pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu. Le personnage gagne
pions blancs par minute jouée. Chaque partie est chronométrée et dure
minutes. Au bout des
minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.
1.Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
On note
le nombre de pions blancs obtenus au bout de
minutes de jeu.
Ainsi
.
Déterminer la nature de la suite
et en déduire, pour tout entier
, l’expression de
en fonction de
.
2.Étude de l’évolution du nombre de pions noirs
Lucas estime que, au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de
% par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entraînement.
On note
le nombre de pions noirs restant à la
-ième minute.
Ainsi
.
a.Justifier que
.b.Déterminer la nature de la suite
et en déduire, pour tout entier
, l’expression de
en fonction de
.
3.On a calculé les premiers termes des suites
et
à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous. Les termes de la suite
ont été arrondis à l’unité.
Lucas peut-il gagner la partie ?
Quantité de déchets ménagers
Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de
kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de
% par an.
Pour tout entier naturel
, on note
la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l’année
, on a donc
.
1.Montrer par un calcul que
.
2.Pour tout entier naturel
, exprimer
en fonction de
.
3.En déduire la nature de la suite
puis une expression de
en fonction de
.
4.On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en
au niveau national, à savoir
kg.
Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
a.Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
b.À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en
au niveau national ?
Concentration de médicament dans le sang
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La première injection est de
mL, puis toutes les heures on lui en injecte
mL.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le modèle suivant :
• on estime que
% de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
• pour tout entier naturel
, on note
la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de
heures.
Ainsi,
.
1.Justifier que
.
2.Montrer que, pour tout entier naturel
,
.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite
:
3.Conjecturer la limite de la suite
.
On considère l’algorithme suivant :
4.À quoi sert cet algorithme ?
5.À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite
donné ci-dessous, donner la valeur de
à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
Refroidissement d'un four
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de
C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement. Pour un nombre entier naturel
, on note
la température en degré Celsius du four au bout de
heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint.
On a donc
.
La température
est calculée grâce à l'algorithme suivant :
1.Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
2.Exprimer
en fonction de
.
3.Déterminer la température du four arrondie à l'unité après
heures de refroidissement.
4.La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à
C. Afin de déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
Recopier et compléter les instructions
et
.
5.Déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
Plante vivace
Aujourd'hui, les chardons (une plante vivace) ont envahi
m
des champs d'une région. Chaque semaine, la surface envahie augmente de
% par le développement des racines, auquel s'ajoutent
m
suite à la dissémination des graines.
Pour tout entier naturel
, on note
la surface envahie par les chardons, en m
, après
semaines ; on a donc
m
.
1. a.Calculer
et
.
b.Montrer que la suite
ainsi définie n'est ni arithmétique ni géométrique.
On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel
,
.
2.On considère la suite
, définie pour tout entier naturel
, par
.a.Calculer
, puis montrer que la suite
est géométrique de raison
.b.Pour tout entier naturel
, exprimer
en fonction de
, puis montrer que
.
3.Est-il correct d'affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de
semaines ? Justifier la réponse.
Visionnages d'une série
Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d'une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.
Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de
. Ce nombre augmenterait ensuite de
% chaque semaine.
Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins
visionnages par semaine.
On modélise cette situation par une suite
où
représente le nombre de visionnages
semaines après le début de la diffusion. On a donc
.
1.Calculer le nombre
de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
2.Justifier que, pour tout entier naturel
,
.
3.À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à
?
4.Voici un algorithme écrit en langage Python :
Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.
5.On pose pour tout entier naturel
:
. Montrer que l'on a
. En déduire le nombre total de visionnages au bout de
semaines (arrondir à l'unité).
Affirmation à confirmer ou non
On considère les deux suites suivantes :
• la suite
définie pour tout entier
par :
;
• la suite
définie par
et
pour tout entier
.
1.Calculer les termes d'indice
des suites
et
.
2.On s'intéresse aux variations de la suite
.
Pour cela, on considère la fonction
définie sur
par
a.Démontrer que la fonction
est croissante sur
.
b.En déduire la monotonie de la suite
.
3.On considère l'affirmation suivante : pour tout entier
,
.
Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire. Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :
Le programme renvoie la valeur
. Qui de Camille ou Dominique a raison ? Expliquer.
Suite auxiliaire
Soit la suite
de premier terme
vérifiant la relation, pour tout entier naturel
,
.
Soit la suite géométrique
de premier terme
et de raison
.
1.Calculer
et
.
2.Calculer la somme des
premiers termes de la suite
.
3. La suite
est-elle arithmétique ? La suite
est-elle géométrique ?
4. Recopier et compléter la fonction suite suivante écrite en Python qui permet de calculer la somme
des
premiers termes de la suite
.
5.On admet que
. En déduire
.
Problème de seuil
On considère la suite
définie pour tout entier naturel
par
.
1.Calculer
.
2. a.Exprimer, pour tout entier naturel
,
en fonction de
.
b.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a
.c.En déduire le sens de variation de la suite
.
3.Soit
un nombre réel dans l'intervalle
.
Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel
tel que
, où
est un nombre de l'intervalle
.
Ventes de voitures
Partie A
est une suite géométrique de premier terme
et de raison
.
est une suite définie par :
pour tout entier naturel
.
1.Déterminer une forme explicite de la suite
.
2.Calculer la somme des sept premiers termes de la suite
.
3.Comparer les termes
et
puis
et
.
4.Déterminer le plus petit entier naturel
tel que
.
Partie B
Un concessionnaire de voitures propose des voitures équipées d'un moteur diesel ou d'un moteur essence.
Durant sa première année d'existence en 1995, il a vendu
véhicules avec un moteur diesel et
véhicules avec un moteur essence.
Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminué de
% chaque année, alors que ses ventes de voitures avec un moteur essence ont augmenté de
unités tous les ans.
En quelle année les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel ?
Carrelage hexagonal
Un artisan commence la pose d'un carrelage dans une grande pièce. Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
L'artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successives de la façon suivante :
• à l'étape 1, il entoure le carreau central à l'aide de
carreaux et obtient une première forme ;
• à l'étape 2 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
On note
le nombre de carreaux ajoutés par l'artisan pour faire la
-ième étape (
).
Ainsi
et
.
1.Quelle est la valeur de
?
2.On admet que la suite
est arithmétique de raison
. Exprimer
en fonction de
.
3.Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape
? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape
(en comptant le carreau central initial) ?
4.On pose
. Montrer que
puis que
.
5.Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l'artisan depuis le début, lorsqu'il termine la
-ième étape, est donc
.
À la fin de sa semaine, l'artisan termine la pose du carrelage en collant son
carreau. Combien a-t-il fait d'étapes ?
Ventes de journaux
Lors du lancement d'un hebdomadaire,
exemplaires ont été vendus. Une étude de marché prévoit une progression des ventes de
% chaque semaine.
On modélise le nombre d'hebdomadaires vendus par une suite
où
représente le nombre de journaux vendus durant la
-ième semaine après le début de l'opération.
On a donc
.
1.Calculer le nombre
. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2.Écrire, pour tout entier naturel
, l'expression de
en fonction de
.
3.Voici un programme rédigé en langage Python :
Le programme retourne la valeur
.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4.Déterminer le nombre total d'hebdomadaires vendus au bout d'un an.
Comparaison d'évolutions de populations
La population d'une ville A augmente chaque année de 2 %. La ville A avait 4 600 habitants en 2010.
La population d'une ville B augmente de 110 habitants par année. La ville B avait 5 100 habitants en 2010.
Pour tout entier naturel
n
, on note
u_n
le nombre d'habitants de la ville A et
v_n
le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l'année 2010 +
n
.
1.Calculer le nombre d'habitants de la ville A et le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l'année 2011.
2.Quelle est la nature des suites
(u_n)
et
(v_n)
?
3.Donner l'expression de
(u_n)
en fonction de
n
, pour tout entier naturel
n
et calculer le nombre d'habitants de la ville A en 2020.
4.Donner l'expression de
(v_n)
en fonction de
n
, pour tout entier naturel
n
et calculer le nombre d'habitants de la ville B en 2020.
5.Reproduire et compléter sur la copie l'algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d'années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
Échiquier et graines de riz
Une ancienne légende raconte que le jeu d'échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage demanda qu'on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu'on place : un grain de riz sur la première case du jeu qu'il venait d'inventer, puis deux grains sur la case suivante, puis quatre grains de riz sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grain de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'à la 64e case (puisqu'un plateau de jeu d'échecs comporte 64 cases).
On note
le nombre de grains de riz présents sur la première case,
le nombre de grains de riz sur la deuxième case et ainsi de suite jusqu'à la 64e case.
1.Déterminer
et
.
2.Exprimer, pour tout entier naturel
non nul,
en fonction de
.
3.En déduire la nature de la suite
et en préciser les éléments caractéristiques.Exprimer, pour tout entier naturel
non nul,
en fonction de
.
4.Calculer le nombre de grains de riz qu'il faut sur l'échiquier pour satisfaire le sage.
5.On veut écrire une fonction en langage Python qui déterminer à partir de quelle case le vieux sage disposera de
grains de riz.
Une ébauche de cette fonction est donnée ci-dessous. Recopier et compléter cette fonction afin qu'elle renvoie le résultat désiré.
\begin{array}{|}\hline\texttt{def nb_cases}\, \textbf{(R) :}\\\quad\textbf{case = }\texttt{1}\\\quad\textbf{u = }\texttt{1}\\\quad\textbf{somme = u}\\\quad\texttt{while }\textbf{somme } \ldots\ldots\; : \\\qquad\textbf{u = } \ldots\\\qquad\textbf{somme =}\ldots\\\qquad\textbf{case = case}\; \texttt{+ 1}\\\quad\texttt{return}\, \textbf{case}\\\hline\end{array}
Préparation au marathon
Bob s'est fixé un objectif : participer à un marathon qui aura lieu très bientôt dans sa ville. Pour cela, il désire programmer sa préparation au marathon de la manière suivante :
- lors du premier entraînement, il décide de courir 20 km ;
- il augmente ensuite, à chaque entraînement, la distance à courir de 5 %.
On peut modéliser la distance parcourue lors de ses entraînements par une suite
, où, pour tout entier naturel
non nul, le nombre
désigne la distance à courir en kilomètre, lors de son
-ième entraînement. On a ainsi
.
1.Calculer
puis vérifier que
.
2.Pour tout entier naturel
non nul, exprimer
en fonction de
.
3.Justifier que, pour tout entier naturel non nul,
.
4.Quelle distance, arrondie à 1 m près, va courir Bob à son
entraînement ?
5.La distance à courir d'un marathon est de 42,195 km. Bob estime qu'il sera prêt pour la course, s'il parvient à courir au moins 43 km lors d'un de ses entraînements.
Recopier et compléter le script Python ci-dessous dont la valeur de
, après exécution de ce script, est le nombre minimal d'entraînements permettant à Bob d'être prêt pour le marathon.