Relations métriques dans un triangle

Théorème

Soit 

\text A\text B\text C

un triangle. On appelle 

a,b,c

les longueurs des côtés opposés respectivement à 

\text A,\text B

et

\text C

.

Alors

a^2=b^2+c^2-2bc \cos\hat{\text A}

b^2=a^2+c^2-2ac \cos\hat {\text B}

c^2=a^2+b^2-2ab \cos\hat{\text C}

Démonstration

On démontre la première égalité, les autres se démontrent de façon analogue. 

\vec{\text B\text C}^2=(\vec{\text B\text A}+\vec{\text A\text C})^2=(-\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text C})^2

\vec{\text B\text C}^2=\vec{\text A\text C}^2-2\vec{\text A\text C}\cdot \vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text B}^2

\vec{\text B\text C}^2=\vec{\text A\text C}^2+\vec{\text A\text B}^2-2\text A\text C\times \text A\text B \cos\hat {\text A}

Avec les notations de la figure, on retrouve l'expression recherchée.

Remarque

Lorsque

\text A\text B\text C

est rectangle en

\text A

, l’hypoténuse mesure 

a

,

\cos\hat{\text A}=0

et on retrouve l'égalité de Pythagore : 

a^2=b^2+c^2

.

Exemple

Dans le triangle

\text A\text B\text C

, on connaît

\text A\text B=5, \text A\text C=4

et la mesure de l'angle

\hat {\text A}

qui vaut

60^\circ

. On peut déterminer la longueur du côté manquant à l'aide du théorème d'Al-Kashi.

\text B\text C^2=\text A\text B^2+\text A\text C^2-2\text A\text B\times \text A\text C \times \cos \hat{\text A}= 25+ 16 -2\times 5 \times 4 \times \dfrac 1 2=21

soit 

\text B\text C=\sqrt{21}

.

Théorème de la médiane

Théorème

Dans un triangle

\text A\text B\text C

quelconque, on appelle

\text I

le milieu du segment

[\text B\text C]

.

On a

\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+\dfrac{\text B\text C^2}{2}

.

Démonstration

On développe

\text A\text B^2+\text A\text C^2=(\vec{\text A\text I}+\vec{\text I\text B})^2+(\vec{\text A\text I}+{\text I\text C})^2

\text A\text B^2+\text A\text C^2=\text A\text I^2+2 \vec{\text A\text I}\cdot \vec{\text I\text B}+\text I\text B^2+\text A\text I^2+2\vec{\text A\text I}\cdot \vec{\text I\text C}+\text I\text C^2

On utilise la bilinéarité du produit scalaire pour écrire

\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+2 \vec{\text A\text I}\cdot (\vec{\text I\text B}+\vec{\text I\text C})+\text I\text B^2+\text I\text C^2

\text I

étant le milieu de 

[\text B\text C]

, on a 

\vec{\text I\text B}=\vec{\text C\text I}

soit

\vec{\text I\text B}+\vec{\text I\text C}=\vec{0}

. D'autre part, 

\text I\text B=\text I\text C=\dfrac{\text B\text C}{2}

. On obtient ainsi 

\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+2 \Big(\dfrac{\text B\text C}{2}\Big)^2

d'où le résultat.

Exemple

Dans le triangle

\text A\text B\text C

, le côté

\text A\text C

mesure

4

, le côté

\text A\text B

mesure

7

. La médiane issue de

\text B

mesure

6

et coupe

[\text A\text C]

dans son milieu

\text I

. Le théorème de la médiane nous permet de déterminer la longueur du côté

[\text C\text B]

. À partir de la relation 

\text C\text B^2+\text A\text B^2=2\text B\text I^2+\dfrac{\text A\text C^2}{2}

, on déduit

\text C\text B^2=2\times 36 + \dfrac{16}{2}-49=31

soit

\text C\text B=\sqrt{31}

.