Définition
Soit
et
des nombres réels.
On appellesystème de deux équations linéaires à deux inconnues
et
le système suivant.
.
Exemple
est un système de deux équations linéaire à deux inconnues.
Notation
On appelle en général
un système.
On note par exemple :
Définition
Soit
et
des nombres réels.
Résoudre le système
c'est déterminer l'ensemble des couples
solutions des équations
et
simultanément, c'est-à-direl'ensemble des couples
qui rendent vraies les deux égalités.
Exemple
On considère le système d'équations
.
- On remarque que\(3 \times \color{green}{2} - 2 \times \color{red}{\dfrac{1}{2}} = 5\) et que\(4 \times \color{green}{2} + 2 \times \color{red}{\dfrac{1}{2}} = 9\). Donc le couple\(\left(\color{green}{2};\color{red}{\dfrac{1}{2}}\right)\) est solution de\((\text S)\).
- On remarque que\(3 \times \color{green}{1} - 2 \times (\color{red}{-1}) = 5\) et que\(4 \times \color{green}{1} + 2 \times (\color{red}{-1}) = 2\). Donc le couple\(\left(\color{green}{1};\color{red}{-1}\right)\) n'est pas solution de\((\text S)\).
Propriété
Soit
et
des nombres réels.
Résoudre le système
revient à étudier l'intersection de deux droites du plan : les droites d'équations cartésiennes
et
.
- Le système\((\text S)\) admet ununique couplesolution lorsque les deux droites sont sécantes. Le couple solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.
- Le système\((\text S)\) n'admetaucune solutionlorsque les deux droites sont strictement parallèles.
- Le système\((\text S)\) admet uneinfinité de solutionslorsque les deux droites sont confondues.
Exemple
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On considère le système d'équations
.
Considérons la droites
d'équation
et la droite
d'équation
. Un vecteur directeur de la droite
est
et un vecteur directeur de la droite
est
. Les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires, donc les droites
et
sont sécantes.
On a vu précédemment que le couple
est solution de
.
Donc le point d'intersection des droites
et
est
.
Résolution d'un système par substitution
Méthode
La méthode de résolution d'un systèmepar substitutionconsiste à :
- exprimer une des variables en fonction de l’autre dans l’une des deux équations ;
- puis à substituer cette expression dans la seconde équation. On obtient ainsi une équation à une seule inconnue.
Remarques
- Cette méthode est particulièrement utile lorsque l'on peut facilement isoler l'une des variables.
- Cette méthode est donc très utile si l'on cherche à étudier l'intersection de deux droites du plan et que l'on connaît l'équation réduite d'une des deux droites.
Exemple
On souhaite résoudre le système d'équations
1.On isole
dans la deuxième équation. Le système devient
2.On remplace
par son expression dans la première équation.
Ainsi, on obtient
3.On développe et on résout la première équation. Ainsi, on obtient
4.Finalement, on remplace
par sa valeur dans la deuxième équation et on obtient
5.On vérifie que le couple\((2;1)\) est bien solution du système en remplaçant
et
respectivement par
et
dans les deux équations initiales et en constatant que les deux égalités sont vraies.
6.En conclusion, l'unique solution du système
est le couple
.
Résolution d'un système par combinaison
Méthode
La méthode de résolution d'un systèmepar combinaisonconsiste :
- à multiplier les équations par des nombres appropriés : ces nombres sont choisis de telle façon que, lorsque l'on additionne ou on soustrait membre à membre les deux équations, on obtient une équation à une seule inconnue et on la résout ;
- puis à remplacer la valeur trouvée de cette inconnue dans une des équations du système. On obtient ainsi la valeur de l'autre inconnue.
Remarques
- Cette méthode permet souvent d'éviter des manipulations de fractions, ce qui réduit le risque d’erreurs de calcul.
- Cette méthode se généralise facilement pour résoudre des systèmes comportant plus de deux équations ou inconnues.
- Cette méthode est très utile si l'on cherche à étudier l'intersection de deux droites dont on ne connaît que des équations cartésiennes.
Exemple
On souhaite résoudre le système d'équations
1.On remarque que les coefficients de l'inconnue
sont doublés entre la première équation et la deuxième équation.
On multiplie chaque membre de la première équation par deux. On obtient
2.On soustrait la deuxième équation à la première pour éliminer l'inconnue
.
Ainsi, on obtient
soit après simplification
3.On résout la première équation. Ainsi, on obtient
4.Finalement, on remplace
par sa valeur dans la deuxième équation et on obtient
5.On vérifie que le couple
est bien solution du système en remplaçant
et
respectivement par
et
dans les deux équations initiales et en constatant que les deux égalités sont vraies.
6.En conclusion, l'unique solution du système
est le couple
.