Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
de
et
a
un nombre réel appartenant à
I
.
Soit
h
un nombre réel non nul tel que
a+h
appartient à
I
.
On suppose que la fonction
f
est dérivable en
a
.
La tangente à la courbe représentative de `f`au point d’abscisse`a` est la droite passant par le point
\text {A}(a;f(a))
et de coefficient directeur
.
Équation de la tangente à une courbe
Propriété
Soit
f
une fonction définie sur
I
de
et dérivable en un réel
a\inI
.
Au point d’abscisse
a
, la tangente à la courbe représentative de
f
a pour équation :
\(\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}\).
Démonstration
Par définition, la tangente à la courbe représentative de
f
au point d'abscisse
a
admet comme coefficient directeur
donc son équation réduite est de la forme :
où
p
est l'ordonnée à l'origine.
Déterminons
p :
comme la tangente passe par le point
, les coordonnées du point
vérifient l'équation
, c'est-à-dire
.
On en déduit que l'équation de la tangente s'écrit
, c'est-à-dire
.
Lecture graphique de nombres dérivés - Exemple
La figure montre, en rouge, la courbe représentative d'une fonction
f
sur
[-6;6]
.
On peut lire graphiquement les nombres dérivés
. En effet :
• la tangente à la courbe
C_f
au point d'abscisse
-6
a un coefficient directeur égal à
-1
donc
;
• la tangente à la courbe
C_f
au point d'abscisse
-3
a un coefficient directeur égal à
1
donc
;
• la tangente à la courbe
C_f
au point d'abscisse
-1
passe par les points
et
. Son coefficient directeur se calcule par
{2-1}/{-4-(-1)}-=1/(-3)=-1/3
donc
;
C_f
admet une tangente horizontale aux points d'abscisse
3
donc
;
• la tangente à la courbe
C_f
au point d'abscisse
passe par les points
et
. Son coefficient directeur se calcule par
{1-0}/{4-6}-=1/(-2)=-1/2
donc
.
Équation de la tangente à une courbe - Exemple
Soit
f
la fonction définie sur
\mathbb(R)
par :
f(x)=2x^2-3x+1
. On admet que
.
La tangente à la courbe représentative de
f
au point d'abscisse
2
a pour équation :
Or
f(2)=2\times2^2 -3\times 2 +1=3
.
L'équation est donc
y=5(x-2)+3
c'est-à-dire
y=5x-7
.