Généralités

Définition
Une fonction s'appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme du second degré lorsqu'il existe trois réels

a

,

b

,

c

avec

a

 non nul, tels que, pour tout 

x

dans 

\mathbbR

,

f(x) = ax^2 + bx + c

.
L'expression

f(x) = ax^2 + bx + c

 est appelée forme développée.

Exemples
1.La fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 5x^2 - 6 x + 3

est une fonction polynôme du second degré avec 

a=5

,

b=-6

et

c = 3

.
2.La fonction définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) = x^2 +9,5 x - \sqrt 2

est une fonction polynôme du second degré avec 

a=1

,

b=9,5

et

c = - \sqrt 2

.
3.La fonction définie sur

\mathbb{R}

par

h(x) = -8x^2 - 12

est une fonction polynôme du second degré avec 

a=-8

,

b=0

et

c = - 1 2

.
4.La fonction carrée définie sur 

\mathbb{R}

par

i(x) = x^2

est une fonction polynôme du second degré avec 

a=1

,

b=0

et

c = 0

.

Représentation graphique des fonctions du second degré - Forme développée

Définition 
Dans un repère orthogonal du plan, la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est appeléeparabole.

Dans la figure suivante, on observe la parabole représentative de la fonction polynôme du second degré définie sur

\mathbb R

par

f(x)=0,6x^2+1,1x-1,8

.

En modifiant les valeurs des curseurs 

a

,

b

et

c

, on observe l'influence de ces trois paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction 

f

.

On constate notamment que :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La parabole est tournée vers le haut lorsque

a

est strictement positif, elle est tournée vers le baslorsque 

a

est strictement négatif.Rappel : pour

a=0

, la fonction polynôme du second degré n'est pas définie.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En faisant varier la valeur du paramètre

c

, la parabole est translatée parallèlement à l'axe des ordonnées. De plus, 

c=f(0)

correspond à l'ordonnée du point de la parabole d'abscisse nulle. Le nombre

c

s'appelleordonnée à l'origine.