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Généralités

 non nul, tels que, pour tout 

Sommaire

Fonctions polynôme du second degréReprésentation graphique des fonctions du second degré - Forme développée

Fonctions polynôme du second degré

Définition
Une fonction s'appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme du second degré lorsqu'il existe trois réels
aaa
, 
bbb
, 
ccc
avec
aaa
 non nul, tels que, pour tout 
x
dans 
\mathbbR
,
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
.
L'expression
f(x) = ax^2 + bx + c
 est appelée forme développée.
Exemples
1.La fonction définie sur
R\mathbb{R}R
par
f(x)=5x2−6x+3f(x) = 5x^2 - 6 x + 3f(x)=5x2−6x+3
est une fonction polynôme du second degré avec 
a=5a=5a=5
, 
b=−6b=-6b=−6
 et 
c = 3
.
2.La fonction définie sur
R\mathbb{R}R
par
g(x) = x^2 +9,5 x - \sqrt 2
est une fonction polynôme du second degré avec 
a=1a=1a=1
, 
b=9,5b=9,5b=9,5
 et 
c = - \sqrt 2
.
3.La fonction définie sur
R\mathbb{R}R
par 
h(x) = -8x^2 - 12
est une fonction polynôme du second degré avec 
a=−8a=-8a=−8
, 
b=0b=0b=0
 et 
c = - 1 2
.
4.La fonction carrée définie sur 
R\mathbb{R}R
par
i(x) = x^2
est une fonction polynôme du second degré avec 
a=1a=1a=1
, 
b=0b=0b=0
 et 
c = 0
.

Représentation graphique des fonctions du second degré - Forme développée

Définition 
Dans un repère orthogonal du plan, la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est appeléeparabole.
Dans la figure suivante, on observe la parabole représentative de la fonction polynôme du second degré définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=0,6x2+1,1x−1,8f(x)=0,6x^2+1,1x-1,8f(x)=0,6x2+1,1x−1,8
.
En modifiant les valeurs des curseurs 
aaa
, 
bbb
 et 
ccc
, on observe l'influence de ces trois paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction 
fff
.
On constate notamment que :
    • La parabole est tournée vers le haut lorsque
aaa
est strictement positif, elle est tournée vers le baslorsque 
aaa
est strictement négatif.Rappel : pour
a=0a=0a=0
, la fonction polynôme du second degré n'est pas définie.
    • En faisant varier la valeur du paramètre
ccc
, la parabole est translatée parallèlement à l'axe des ordonnées. De plus, 
c=f(0)c=f(0)c=f(0)
correspond à l'ordonnée du point de la parabole d'abscisse nulle. Le nombre
ccc
s'appelleordonnée à l'origine.