Propriété
On considère l'équation du second degré
ax^2 + bx + c = 0
, avec
,
,
trois réels,
non nul.
Si cette équation admet deux solutions réelles distinctes
x_1
et
x_2
, alors :
et
.
Remarque
Cette propriété permet de trouver les solutions d'une équation du second degré sans avoir à calculer
\Delta
.
On rappelle que les racines d'une fonction du second degré sont les réels annulant la fonction.
Démonstration
On considère la fonction polynôme du second degré\(f\)définie sur
ayant deux racines distinctes
x_1
et
x_2
. Alors, il existe
, un réel non nul, tel que
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
.
En développant puis en factorisant :
\begin{align*}f(x) & = a(x-x_1)(x-x_2) \\& = a\left(x^2 - x \times x_1 - x \times x_2 + x_1 \times x_2 \right) \\& = ax^2 - x\left(a x_1+ a x_2\right) +a x_1 x_2 \\& = ax^2 + x(-a)( x_1+ x_2) +a x_1 x_2\end{align*}
Alors, par identification avec la forme développée,
b = -a(x_1+x_2)
, soit
et
c = ax_1x_2
, soit
x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}
.