Somme et produit des racines

Propriété
On considère l'équation du second degré 

ax^2 + bx + c = 0

, avec 

a

,

b

,

c

trois réels, 

a

non nul.
Si cette équation admet deux solutions réelles distinctes 

x_1

et

x_2

, alors :

\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}

et

\boxed{x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}}

.

Remarque
Cette propriété permet de trouver les solutions d'une équation du second degré sans avoir à calculer

\Delta

.
On rappelle que les racines d'une fonction du second degré sont les réels annulant la fonction.

 Démonstration
On considère la fonction polynôme du second degré\(f\)définie sur

\mathbb{R}

 ayant deux racines distinctes 

x_1

et

x_2

. Alors, il existe

a

, un réel non nul, tel que

f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)

.
En développant puis en factorisant :

\begin{align*}f(x) & = a(x-x_1)(x-x_2) \\& = a\left(x^2 - x \times x_1 - x \times x_2 + x_1 \times x_2 \right) \\& = ax^2 - x\left(a x_1+ a x_2\right) +a x_1 x_2 \\& = ax^2 + x(-a)( x_1+ x_2) +a x_1 x_2\end{align*}

Alors, par identification avec la forme développée,

b = -a(x_1+x_2)

, soit

x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}

et

c = ax_1x_2

, soit

x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}

.

On souhaite résoudre l'équation du second degré 

x^2 - 2x - 15 = 0

 sans calculer le discriminant.

Ici,

a=1

,

b=-2

et

c=-15

. La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 

2

 et leur produit vaut

-15

.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont

x_1 = -3

et

x_2 = 5

.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 2

On souhaite résoudre l'équation du second degré 

2x^2 + 22x + 56 = 0

.

Ici,

a=2

,

b=22

et

c=56

. En factorisant par

a

, on obtient l'équation équivalente :

2(x^2 +11x + 28)= 0

.
La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 

-11

 et leur produit vaut

28

.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont

x_1 = -7

et

x_2 = -4

.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 3

On souhaite résoudre l'équation du second degré 

-3x^2 +51x -180 = 0

.

Ici,

a=-3

,

b=51

et

c=-180

.
En factorisant par

a

, on obtient l'équation équivalente : 

-3(x^2 -17x + 60)= 0

.
La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 

17

et leur produit vaut

60

.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont 

x_1 = 5

et

x_2 = 12

.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 4

On souhaite retrouver l'expression et les racines de la fonction polynôme du second degré telle que

a=3

, la somme des racines vaut 

-4

et leur produit vaut

-12

.

La fonction a pour expression 

f(x) = 3(x^2 + 4x - 12 )= 3 x^2 + 12x - 36

 ; et les deux racines sont  

x_1 = -6

et

x_2 = 2

.

On souhaite résoudre l'équation du second degré 

-x^2 +6x -9 = 0

.

Ici,

a=-1

,

b=6

et

c=-9

.
En factorisant par

a

, on obtient l'équation équivalente : 

-(x^2 -6x +9) = 0

.
On reconnaît l'expression développée de

(x-3)^2

.
L'équation correspond donc à 

-(x-3)^2 = 0

.
L'équation admet donc une unique solution : 

x_0 = 3

.

Résolution par identité remarquable - Exemple 2

On souhaite résoudre l'équation du second degré 

10x^2 +100x +250 = 0

.

Ici,

a = 10

,

b=100

et

c=250

.
En factorisant par

a

, on obtient : 

10(x^2 +10x +25) = 0

.
On reconnaît l'expression développée de

(x+5)^2

.
L'équation correspond donc à 

10(x+5)^2 = 0

.
L'équation admet donc une unique solution : 

x_0 =-5

.

Somme et produit des racines

Somme et produit des racines

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 1

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 2

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 3

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 4

Résolution par identité remarquable - Exemple 1

Résolution par identité remarquable - Exemple 2