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Somme et produit des racines

\(\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}\)

Sommaire

Somme et produit des racines
Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 1Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 2Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 3Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 4
Résolution par identité remarquable - Exemple 1Résolution par identité remarquable - Exemple 2

Somme et produit des racines

Propriété
On considère l'équation du second degré 
ax^2 + bx + c = 0
, avec 
aaa
, 
bbb
, 
ccc
trois réels, 
aaa
non nul.
Si cette équation admet deux solutions réelles distinctes 
x_1
 et 
x_2
, alors :
x1+x2=−ba\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}x1​+x2​=−ab​​
      et      
x1×x2=ca\boxed{x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}}x1​×x2​=ac​​
.
Remarque
Cette propriété permet de trouver les solutions d'une équation du second degré sans avoir à calculer
\Delta
.
On rappelle que les racines d'une fonction du second degré sont les réels annulant la fonction.
 Démonstration
On considère la fonction polynôme du second degré\(f\)définie sur
R\mathbb{R}R
 ayant deux racines distinctes 
x_1
 et 
x_2
. Alors, il existe
aaa
, un réel non nul, tel que
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
.
En développant puis en factorisant :
\begin{align*}f(x) & = a(x-x_1)(x-x_2) \\& = a\left(x^2 - x \times x_1 - x \times x_2 + x_1 \times x_2 \right) \\& = ax^2 - x\left(a x_1+ a x_2\right) +a x_1 x_2 \\& = ax^2 + x(-a)( x_1+ x_2) +a x_1 x_2\end{align*}
Alors, par identification avec la forme développée,
b = -a(x_1+x_2)
, soit
x1+x2=−bax_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}x1​+x2​=−ab​
 et
c = ax_1x_2
, soit
x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}
.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 1

On souhaite résoudre l'équation du second degré 
x^2 - 2x - 15 = 0
 sans calculer le discriminant.
Ici,
a=1a=1a=1
,
b=-2
et
c=-15
. La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 
222
 et leur produit vaut
−15-15−15
.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont
x_1 = -3
 et
x_2 = 5
.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 2

On souhaite résoudre l'équation du second degré 
2x^2 + 22x + 56 = 0
.
Ici,
a=2a=2a=2
,
b=22
et
c=56
. En factorisant par
aaa
, on obtient l'équation équivalente :
2(x^2 +11x + 28)= 0
.
La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 
−11-11−11
 et leur produit vaut
282828
.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont
x_1 = -7
 et
x_2 = -4
.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 3

On souhaite résoudre l'équation du second degré 
-3x^2 +51x -180 = 0
.
Ici,
a=−3a=-3a=−3
,
b=51
et
c=-180
.
En factorisant par
aaa
, on obtient l'équation équivalente : 
-3(x^2 -17x + 60)= 0
.
La somme des racines de la fonction polynôme du second degré vaut donc 
171717
et leur produit vaut
606060
.
On peut en déduire que les solutions de l'équation sont 
x1=5x_1 = 5x1​=5
 et 
x2=12x_2 = 12x2​=12
.

Résolution sans calcul de discriminant - Exemple 4

On souhaite retrouver l'expression et les racines de la fonction polynôme du second degré telle que
a=3a=3a=3
, la somme des racines vaut 
−4-4−4
et leur produit vaut
−12-12−12
.
La fonction a pour expression 
f(x) = 3(x^2 + 4x - 12 )= 3 x^2 + 12x - 36
 ; et les deux racines sont  
x_1 = -6
 et 
x_2 = 2
. 

Résolution par identité remarquable - Exemple 1

On souhaite résoudre l'équation du second degré 
-x^2 +6x -9 = 0
.
Ici,
a=−1a=-1a=−1
,
b=6
et
c=-9
.
En factorisant par
aaa
, on obtient l'équation équivalente : 
-(x^2 -6x +9) = 0
.
On reconnaît l'expression développée de
(x-3)^2
.
L'équation correspond donc à 
-(x-3)^2 = 0
.
L'équation admet donc une unique solution : 
x_0 = 3
.

Résolution par identité remarquable - Exemple 2

On souhaite résoudre l'équation du second degré 
10x^2 +100x +250 = 0
.
Ici,
a=10a = 10a=10
,
b=100
et
c=250
.
En factorisant par
aaa
, on obtient : 
10(x^2 +10x +25) = 0
.
On reconnaît l'expression développée de
(x+5)^2
.
L'équation correspond donc à 
10(x+5)^2 = 0
.
L'équation admet donc une unique solution : 
x_0 =-5
.