Variations de suites

Définitions

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dit qu'une suite 

(u_n)_{n\in\mathbb(N)}

 estcroissantesi et seulement si, pour tout entier naturel 

n

,

u_{n+1}\geqslant u_n

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dit qu'une suite 

(u_n)_{n\in\mathbb(N)}

 est décroissantesi et seulement si, pour tout entier naturel 

n

,

u_{n+1}\leqslant u_n

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dit qu'une suite 

(u_n)_{n\in\mathbb(N)}

 estconstantesi et seulement si, pour tout entier naturel 

n

,

u_{n+1}=u_n

.

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque l'inégalité 

u_{n+1}\geqslant u_n

 n'est vraie que pour 

n

 tel que 

n\geqslant p

où

p

 est un entier on dit que la suite 

(u_n)

 est croissante à partir du rang 

p

. On dit, de façon analogue que

(u_n)

 est décroissante à partir du rang 

p

lorsque

u_{n+1}\leqslant u_n

à partir d'un rang 

p

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsqu’une suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle estmonotone.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On définit de même une suite strictement monotone en utilisant des inégalités strictes.

Exemple 1
La suite des nombres entiers naturels pairs : 

0, 2, 4, 6, ...

 est la suite 

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

telle que 

\begin{cases} u_0 = 0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+2 \end{cases}

. 
Pour tout entier naturel 

n

, on a 

u_{n+1}=u_n+2 \ \text{donc} \ u_{n+1}>u_n

. La suite 

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

est donc strictement croissante. 

Exemple 2
On peut conjecturer graphiquement le sens de variation d'une suite à l'aide, par exemple, de la calculatrice.

On peut conjecturer que la suite 

(v_n)

 est croissante à partir du rang 

2

.

Exemple 3
La suite 

(w_n)

 de terme général 

w_n=(-1)^n

 n'est ni croissante, ni décroissante. En effet, tous les termes de rang pair valent 

1

 et tous les termes de rang impair valent 

-1

.

Méthode
Pour déterminer le sens de variation d'une suite, on peut : 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;étudier le signe de la différence 

u_{n+1}-u_n

 pour tout 

n

 entier naturel ; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;étudier les variations de la fonction 

f

 dans le cas où la suite 

(v_n)

 est définie par une formule explicite 

v_n=f(n)

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;comparer le quotient 

\dfrac{w_{n+1}}{w_n }

à 1 lorsque 

w_n

 est non nulle de signe constant. 

Exemple 1
Soit 

(u_n)

 la suite définie sur

\mathbb N

par

u_n=n+\dfrac{1}{n+1}

.
Pour tout 

n

 entier naturel, 

u_{n+1}-u_n=(n+1)+\dfrac{1}{(n+1)+1}-\left(n+\dfrac{1}{n+1}\right)

.

u_{n+1}-u_n=n+1+\dfrac{1}{n+2}-n-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)+(n+1)-(n+2)}{(n+2)(n+1)}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n+1}{(n+1)(n+2)}

.
Or, pour tout réel 

x\geqslant0

, le polynôme 

x^2+3x+1\geqslant0

et

(x+1)(x+2)\geqslant0

et on en déduit que, pour tout 

n

 entier naturel, 

u_{n+1}-u_n\geqslant0

.
On conclut que la suite est croissante sur

\mathbb N

.

Exemple 2
Soit 

(v_n)

 la suite définie par 

v_n=\sqrt{5n+4}

 pour tout 

n

 entier naturel.
La suite 

(v_n)

 est définie par une formule explicite

v_n=f(n)

avec 

f:x\mapsto \sqrt{5x+4}

pour tout

x\geqslant0

.
Afin de déterminer les variations de

(v_n)

on peut, par exemple, étudier les variations de 

f

 à l'aide du signe de sa fonction dérivée. La fonction 

f

 est bien dérivable sur 

[0;+\infty[

 et, pour tout 

x\in[0;+\infty[

,

f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+4}}\geqslant0

.
La fonction 

f

 est strictement croissante sur

[0;+\infty[

, on conclut que la suite 

(v_n)

 est croissante sur

\mathbb N

.

Exemple 3
Soit 

(w_n)

 la suite définie par 

w_n=\dfrac{3^n}{5^{n+2}}

 pour tout 

n

 entier naturel.
La suite 

(w_n)

 est strictement positive, on peut donc comparer le quotient 

\dfrac{w_{n+1}}{w_n }

et

1

.
Pour tout 

n

 entier naturel, 

\dfrac{w_{n+1}}{w_n }=\dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}}{\dfrac{3^n}{5^{n+2}}}=\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}\times\dfrac{5^{n+2}}{3^n}=\dfrac{3}{5}<1

.
Ainsi pour tout 

n

 entier naturel, 

\dfrac{w_{n+1}}{w_n }<1\Leftrightarrow w_{n+1}<w_n

Variation d'une suite