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Variations de suites

    • On dit qu'une suite 

Sommaire

Variation d'une suiteVariations de suites - Exemples✎ Déterminer le sens de variation d'une suite
Variation des suites arithmétiquesVariation des suites géométriques

Variation d'une suite

Définitions
    • On dit qu'une suite 
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
 estcroissantesi et seulement si, pour tout entier naturel 
n
, 
un+1⩾unu_{n+1}\geqslant u_nun+1​⩾un​
.
    • On dit qu'une suite 
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
 est décroissantesi et seulement si, pour tout entier naturel 
n
, 
un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_nun+1​⩽un​
.
    • On dit qu'une suite 
(u_n)_{n\in\mathbb(N)}
 estconstantesi et seulement si, pour tout entier naturel 
n
, 
u_{n+1}=u_n
. 
Remarques
    • Lorsque l'inégalité 
un+1⩾unu_{n+1}\geqslant u_nun+1​⩾un​
 n'est vraie que pour 
nnn
 tel que 
n⩾pn\geqslant pn⩾p
 où 
ppp
 est un entier on dit que la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est croissante à partir du rang 
ppp
. On dit, de façon analogue que
(un)(u_n)(un​)
 est décroissante à partir du rang 
ppp
lorsque
un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_nun+1​⩽un​
à partir d'un rang 
ppp
.
    • Lorsqu’une suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle estmonotone.
    • On définit de même une suite strictement monotone en utilisant des inégalités strictes.

Variations de suites - Exemples

Exemple 1
La suite des nombres entiers naturels pairs : 
0,2,4,6,...0, 2, 4, 6, ...0,2,4,6,...
 est la suite 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
telle que 
{u0=0Pour tout n∈N,un+1=un+2\begin{cases} u_0 = 0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+2 \end{cases}{u0​=0Pour tout n∈N,un+1​=un​+2​
. 
Pour tout entier naturel 
nnn
, on a 
un+1=un+2 donc un+1>unu_{n+1}=u_n+2 \ \text{donc} \ u_{n+1}>u_nun+1​=un​+2 donc un+1​>un​
. La suite 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
est donc strictement croissante. 
Exemple 2
On peut conjecturer graphiquement le sens de variation d'une suite à l'aide, par exemple, de la calculatrice.
On peut conjecturer que la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 est croissante à partir du rang 
222
. 
Exemple 3
La suite 
(wn)(w_n)(wn​)
 de terme général 
wn=(−1)nw_n=(-1)^nwn​=(−1)n
 n'est ni croissante, ni décroissante. En effet, tous les termes de rang pair valent 
111
 et tous les termes de rang impair valent 
−1-1−1
.

✎ Déterminer le sens de variation d'une suite

Méthode
Pour déterminer le sens de variation d'une suite, on peut : 
    • étudier le signe de la différence 
un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​
 pour tout 
nnn
 entier naturel ; 
    • étudier les variations de la fonction 
fff
 dans le cas où la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 est définie par une formule explicite 
vn=f(n)v_n=f(n)vn​=f(n)
 ; 
    • comparer le quotient 
wn+1wn\dfrac{w_{n+1}}{w_n }wn​wn+1​​
à 1 lorsque 
wnw_nwn​
 est non nulle de signe constant. 
Exemple 1
Soit 
(un)(u_n)(un​)
 la suite définie sur
N\mathbb NN
par 
un=n+1n+1u_n=n+\dfrac{1}{n+1}un​=n+n+11​
.
Pour tout 
nnn
 entier naturel, 
un+1−un=(n+1)+1(n+1)+1−(n+1n+1)u_{n+1}-u_n=(n+1)+\dfrac{1}{(n+1)+1}-\left(n+\dfrac{1}{n+1}\right)un+1​−un​=(n+1)+(n+1)+11​−(n+n+11​)
.
un+1−un=n+1+1n+2−n−1n+1=(n+1)(n+2)+(n+1)−(n+2)(n+2)(n+1)u_{n+1}-u_n=n+1+\dfrac{1}{n+2}-n-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)+(n+1)-(n+2)}{(n+2)(n+1)}un+1​−un​=n+1+n+21​−n−n+11​=(n+2)(n+1)(n+1)(n+2)+(n+1)−(n+2)​
un+1−un=n2+3n+1(n+1)(n+2)u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n+1}{(n+1)(n+2)}un+1​−un​=(n+1)(n+2)n2+3n+1​
.
Or, pour tout réel 
x⩾0x\geqslant0x⩾0
, le polynôme 
x2+3x+1⩾0x^2+3x+1\geqslant0x2+3x+1⩾0
 et 
(x+1)(x+2)⩾0(x+1)(x+2)\geqslant0(x+1)(x+2)⩾0
et on en déduit que, pour tout 
nnn
 entier naturel, 
un+1−un⩾0u_{n+1}-u_n\geqslant0un+1​−un​⩾0
.
On conclut que la suite est croissante sur
N\mathbb NN
. 
Exemple 2
Soit 
(vn)(v_n)(vn​)
 la suite définie par 
vn=5n+4v_n=\sqrt{5n+4}vn​=5n+4​
 pour tout 
nnn
 entier naturel.
La suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 est définie par une formule explicite
vn=f(n)v_n=f(n)vn​=f(n)
avec 
f:x↦5x+4f:x\mapsto \sqrt{5x+4}f:x↦5x+4​
pour tout
x⩾0x\geqslant0x⩾0
.
Afin de déterminer les variations de
(vn)(v_n)(vn​)
on peut, par exemple, étudier les variations de 
fff
 à l'aide du signe de sa fonction dérivée. La fonction 
fff
 est bien dérivable sur 
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
 et, pour tout 
x∈[0;+∞[x\in[0;+\infty[x∈[0;+∞[
, 
f′(x)=525x+4⩾0f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+4}}\geqslant0f′(x)=25x+4​5​⩾0
.
La fonction 
fff
 est strictement croissante sur
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
, on conclut que la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 est croissante sur
N\mathbb NN
. 
Exemple 3
Soit 
(wn)(w_n)(wn​)
 la suite définie par 
wn=3n5n+2w_n=\dfrac{3^n}{5^{n+2}}wn​=5n+23n​
 pour tout 
nnn
 entier naturel.
La suite 
(wn)(w_n)(wn​)
 est strictement positive, on peut donc comparer le quotient 
wn+1wn\dfrac{w_{n+1}}{w_n }wn​wn+1​​
 et 
111
.
Pour tout 
nnn
 entier naturel, 
wn+1wn=3n+15n+33n5n+2=3n+15n+3×5n+23n=35<1\dfrac{w_{n+1}}{w_n }=\dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}}{\dfrac{3^n}{5^{n+2}}}=\dfrac{3^{n+1}}{5^{n+3}}\times\dfrac{5^{n+2}}{3^n}=\dfrac{3}{5}<1wn​wn+1​​=5n+23n​5n+33n+1​​=5n+33n+1​×3n5n+2​=53​<1
.
Ainsi pour tout 
nnn
 entier naturel, 
wn+1wn<1⇔wn+1<wn\dfrac{w_{n+1}}{w_n }<1\Leftrightarrow w_{n+1}<w_nwn​wn+1​​<1⇔wn+1​<wn​

Variation des suites arithmétiques

Propriété
Soit 
u_0
 et 
r
 deux réels et
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
la suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
. 
Si 
r>0r>0r>0
, alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 eststrictement croissante. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
r<0r<0r<0
, alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 eststrictement décroissante.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
r=0r=0r=0
, alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 estconstante. 
Démonstration
Soit 
u_0
 et 
r
 deux réels.
(u_n)_(n\in\mathbb(N))
 est la suite arithmétique de premier terme 
u_0
 et de raison 
r
.
On étudie le signe de la différence 
u_{n+1}-u_n
.
Or, pour tout 
n
 entier naturel,
u_{n+1}-u_n=(u_n+r)-u_n=r
.
Donc, 
Si 
r>0r>0r>0
,
u_{n+1}-u_n>0
 et alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est croissante. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
r<0r<0r<0
, 
un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0un+1​−un​<0
 et alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est décroissante.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
r=0r=0r=0
,
un+1−un=0u_{n+1}-u_n=0un+1​−un​=0
et alors la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est constante. 

Variation des suites géométriques

Propriété
Soit 
qqq
 un réel non nul différent de 
1\text 11
,
v0v_0v0​
 un réel et 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
la suite géométrique de premier terme
v0v_0v0​
et raison 
qqq
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;1ercas : \(v_0>0\)Si
0<q<10<q<10<q<1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;\(\textbf2^\text{e}\)cas :\(v_0<0\)Si
0<q<10<q<10<q<1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Quel que soit \(v_0\),si
q<0q<0q<0
 alors la suite
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
n'est ni croissante ni décroissante.
Remarque
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
q=0q=0q=0
,
v_n=0
pour tout
n\geq 1
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
q=1q=1q=1
(v_n)
est constante.
Démonstration 
Soit 
qqq
 un réel non nul différent de 
1\text 11
,
v0v_0v0​
 un réel et 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
la suite géométrique de raison 
qqq
.
On étudie le signe de la différence 
v_{n+1}-v_n
.
Or, pour tout 
n
 entier naturel, 
vn+1−vn=q×vn−vn=(q−1)×vn=(q−1)qn×v0v_{n+1}-v_n=q\times v_n-v_n=(q-1)\times v_n=(q-1)q^n\times v_0vn+1​−vn​=q×vn​−vn​=(q−1)×vn​=(q−1)qn×v0​
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;1ercas :\(v_0>0\)Si
0<q<10<q<10<q<1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;\(\textbf2^\text{e}\)cas:\(v_0<0\)Si
0<q<10<q<10<q<1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Quel que soit \(v_0\),si
q<0q<0q<0
 alors 
qnq^nqn
 change de signe selon la parité de 
nnn
, il en est de même pour
vnv_nvn​
. La suite
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
n'est ni croissante ni décroissante.