Exercices d'entraînement

Une horloge sonne une fois lorsqu'il est

1

 h, deux fois lorsqu'il est

2

 h, etc., vingt-trois fois quand il est

23

 h et vingt-quatre fois quand il est minuit. Combien de fois a-t-elle sonné en 24 heures ?

Soit

\left(u_n\right)

 la suite géométrique vérifiant :

u_0 + u_1 + u_2 = 252

et

u_2 - u_1 = 144

.
Exprimer

u_n

 en fonction de

n

.

Soit 

\left(u_n\right)

 la suite définie par 

u_0 = 0, u_1 = 1

 et, pour tout entier naturel 

n

,

u_{n+2} = 10u_{n+1} - 9u_n

.

1.Calculer 

u_2, u_3

et

u_4

.

2.Soit 

\left(v_n\right)

 la suite définie pour tout entier naturel 

n

 par : 

v_n = u_{n+1} - u_n

.
Montrer que 

\left(v_n\right)

 est une suite géométrique. Déterminer l'expression de

v_n

, puis de

u_n

 en fonction de 

n

.

Sylvain emprunte

1\,000

 € pendant un an. Son remboursement se fait par un versement unique au taux de

6,62

%.

Sylvette emprunte

1\,000

 € pendant un an. Son remboursement se fait par douze versements au taux de

1

 % mensuel.

Qui a contracté le prêt le plus avantageux ?

Dans un repère orthonormal d'origine 

\text{O}

, on considère les cercles de centre 

\text{O}

  et de rayon

n

.

Sur la représentation suivante, on s'est arrêté à

n=5

.

On définit la suite

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

 par :

u_0

= aire du disque de rayon 

1

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout 

n\geqslant 1

,

u_n

= aire de lacouronnedélimitée par les cercles de rayon

n

et

n+1

.

1.a.Calculer les trois premiers termes de cette suite.  b.Exprimer

u_n

 en fonction de

n

 ; en déduire la nature de la suite 

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

.

2.Démontrer que, pour tout

n

dans

\mathbb N

,

S_n=u_0+u_1+...+u_{n}= \pi (n+1)^2

. Interpréter ce résultat en termes d'aires. 

Soit

\left(u_n\right)

 la suite définie sur

\mathbb{N}

 par :

u_0 = 1

,

u_1 = 2

 et, pour tout

n \geqslant 0

,

u_{n+2} = \dfrac{3u_{n+1} - u_n}{2}

.

1.On considère la suite 

(v_n)

 définie sur 

\mathbb{N}

par

v_n = u_{n+1} - u_n

. 
Montrer que

\left(v_n\right)

 est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.

2.Exprimer

v_n

 en fonction de 

n

.

3.En déduire une expression de 

u_n

 en fonction de 

n

.

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

 est la suite définie par 

u_0=2

 et pour tout 

n\in\mathbb{N}

,

u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3u_n+1}

.

On admet que la suite est bien définie, soit,pour tout 

n\in\mathbb{N}

,

u_n\ne -\frac 1 3

et, plus généralement, on admet que, pour tout 

n\in\mathbb{N}

,

u_n>0

.

La suite

(v_n)_{n\in\mathbb{N}}

 est définie pour tout 

n\in\mathbb{N}

 par : 

v_n=\dfrac{1}{u_n}

.

1.Calculer

u_1, u_2 \text{ et }u_3

 puis 

v_1, v_2 \text{ et }v_3

.

2.Démontrer que la suite 

(v_n)_{n\in\mathbb{N}}

est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

3.Donner le terme général de 

(v_n)_{n\in\mathbb{N}}

.

4.En déduire que, pour tout 

n\in\mathbb{N}

,

u_n=\dfrac{2}{1+6n}

.

Soit

\left(u_n\right)

 la suite définie par

u_1 = 1

 et, pour tout entier

n

 strictement positif,

u_{n+1} = \dfrac{5u_n}{3u_n + 5}

. On admettra que la suite est strictement positive.

1.Montrer que la suite

\left(u_n\right)

 est strictement monotone.

2.Soit

\left(v_n\right)

 la suite définie par : pour tout entier

n

 strictement positif,

v_n = \dfrac{5}{u_n}

.
    a.Montrer que la suite

\left(v_n\right)

 est arithmétique.
    b.Exprimer

v_n

 en fonction de

n

, puis

u_n

 en fonction de

n

.

Soit

(u_n)

 la suite arithmétique décroissante telle que :

\begin{cases} u_0 + u_1 + u_2 = 270 \\ u_0 \times u_1 \times u_2 = 720\,000 \\ \end{cases}

1.Déterminer 

u_0, u_1 \text{ et } u_2

.

Conseil(à regarder après avoir cherché... un peu) : on pourra exprimer 

u_0

et

u_2

en fonction de 

u_1

et de 

r

, la raison de la suite. 

2.Soit

n \in \mathbb{N}

et

S = u_0 + u_1 + u_2 \, + ... + \, u_n

.
Déterminer

n

 tel que 

S = 450

.

Conseil: résoudre d'abord l'exercice « Une suite arithmétique étonnante ».

Soit

(u_n)

la suite géométrique décroissante telle que : 

\begin{cases} u_0 + u_1 + u_2 = 999 \\ u_0 \times u_1 \times u_2 = 729\,000 \\ \end{cases}

1.Déterminer 

u_0, u_1

et

u_2

.

2.Soit

n \in \mathbb{N}

et

S = u_0 + u_1 + u_2 \, + ... + \, u_n

.

Déterminer

n

 tel que 

S = 999\,999

.

* Les sons de l'horloge