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Exercices d'entraînement

Une horloge sonne une fois lorsqu'il est

Sommaire

* Les sons de l'horloge* Terme général d'une suite géométrique* Une suite auxiliaire (1)* Comparaison de prêts
** Aire d'une cible** Une suite auxiliaire (2)** Une suite auxiliaire (3)** Une suite auxiliaire (4)
*** Une suite arithmétique étonnante*** Une suite géométrique étonnante

*** Une suite arithmétique étonnante

Soit
(un)(u_n)(un​)
 la suite arithmétique décroissante telle que :
{u0+u1+u2=270u0×u1×u2=720 000\begin{cases} u_0 + u_1 + u_2 = 270 \\ u_0 \times u_1 \times u_2 = 720\,000 \\ \end{cases}{u0​+u1​+u2​=270u0​×u1​×u2​=720000​
1.Déterminer 
u0,u1 et u2u_0, u_1 \text{ et } u_2u0​,u1​ et u2​
.
Conseil(à regarder après avoir cherché... un peu) : on pourra exprimer 
u0u_0u0​
et 
u2u_2u2​
en fonction de 
u1u_1u1​
et de 
rrr
, la raison de la suite. 
2.Soit
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
 et 
S=u0+u1+u2 +...+ unS = u_0 + u_1 + u_2 \, + ... + \, u_nS=u0​+u1​+u2​+...+un​
.
Déterminer
nnn
 tel que 

* Les sons de l'horloge

Une horloge sonne une fois lorsqu'il est
111
 h, deux fois lorsqu'il est
222
 h, etc., vingt-trois fois quand il est
232323
 h et vingt-quatre fois quand il est minuit. Combien de fois a-t-elle sonné en 24 heures ?

* Terme général d'une suite géométrique

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite géométrique vérifiant :
u0+u1+u2=252u_0 + u_1 + u_2 = 252u0​+u1​+u2​=252
 et
u2−u1=144u_2 - u_1 = 144u2​−u1​=144
.
Exprimer
u_n
 en fonction de
nnn
.

* Une suite auxiliaire (1)

Soit 
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite définie par 
u0=0,u1=1u_0 = 0, u_1 = 1u0​=0,u1​=1
 et, pour tout entier naturel 
nnn
, 
un+2=10un+1−9unu_{n+2} = 10u_{n+1} - 9u_nun+2​=10un+1​−9un​
.
1.Calculer 
u2,u3u_2, u_3u2​,u3​
 et 
u4u_4u4​
.
2.Soit 
(vn)\left(v_n\right)(vn​)
 la suite définie pour tout entier naturel 
nnn
 par : 
vn=un+1−unv_n = u_{n+1} - u_nvn​=un+1​−un​
.
Montrer que 
(vn)\left(v_n\right)(vn​)
 est une suite géométrique. Déterminer l'expression de
vnv_nvn​
, puis de
unu_nun​
 en fonction de 
nnn
.

* Comparaison de prêts

Sylvain emprunte
1 0001\,0001000
 € pendant un an. Son remboursement se fait par un versement unique au taux de
6,62
 %.
Sylvette emprunte
1 0001\,0001000
 € pendant un an. Son remboursement se fait par douze versements au taux de
111
 % mensuel.
Qui a contracté le prêt le plus avantageux ?

** Aire d'une cible

Dans un repère orthonormal d'origine 
O\text{O}O
, on considère les cercles de centre 
O\text{O}O
  et de rayon
nnn
.
Sur la représentation suivante, on s'est arrêté à
n=5n=5n=5
.
On définit la suite
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 par :
u0u_0u0​
= aire du disque de rayon 
111
.
    • Pour tout 
n⩾1n\geqslant 1n⩾1
, 
unu_nun​
= aire de lacouronnedélimitée par les cercles de rayon
nnn
 et 
n+1n+1n+1
.
1.a.Calculer les trois premiers termes de cette suite.  b.Exprimer
unu_nun​
 en fonction de
nnn
 ; en déduire la nature de la suite 
(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
.
2.Démontrer que, pour tout
nnn
dans
N\mathbb NN
, 
Sn=u0+u1+...+un=π(n+1)2S_n=u_0+u_1+...+u_{n}= \pi (n+1)^2Sn​=u0​+u1​+...+un​=π(n+1)2
. Interpréter ce résultat en termes d'aires. 

** Une suite auxiliaire (2)

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite définie sur
N\mathbb{N}N
 par :
u0=1u_0 = 1u0​=1
,
u1=2u_1 = 2u1​=2
 et, pour tout
n⩾0n \geqslant 0n⩾0
, 
un+2=3un+1−un2u_{n+2} = \dfrac{3u_{n+1} - u_n}{2}un+2​=23un+1​−un​​
.
1.On considère la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 définie sur 
N\mathbb{N}N
 par
vn=un+1−unv_n = u_{n+1} - u_nvn​=un+1​−un​
. 
Montrer que
(vn)\left(v_n\right)(vn​)
 est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
2.Exprimer
vnv_nvn​
 en fonction de 
nnn
.
3.En déduire une expression de 
unu_nun​
 en fonction de 
nnn
.

** Une suite auxiliaire (3)

(un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}(un​)n∈N​
 est la suite définie par 
u0=2u_0=2u0​=2
 et pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
, 
un+1=un3un+1u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3u_n+1}un+1​=3un​+1un​​
.
On admet que la suite est bien définie, soit,pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
,
un≠−13u_n\ne -\frac 1 3un​=−31​
et, plus généralement, on admet que, pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
,
un>0u_n>0un​>0
.
La suite
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
 est définie pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
 par : 
vn=1unv_n=\dfrac{1}{u_n}vn​=un​1​
. 
1.Calculer
u1,u2 et u3u_1, u_2 \text{ et }u_3u1​,u2​ et u3​
 puis 
v1,v2 et v3v_1, v_2 \text{ et }v_3v1​,v2​ et v3​
.  
2.Démontrer que la suite 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.
3.Donner le terme général de 
(vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}}(vn​)n∈N​
.
4.En déduire que, pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
, 
un=21+6nu_n=\dfrac{2}{1+6n}un​=1+6n2​
. 

** Une suite auxiliaire (4)

Soit
(un)\left(u_n\right)(un​)
 la suite définie par
u1=1u_1 = 1u1​=1
 et, pour tout entier
nnn
 strictement positif,
un+1=5un3un+5u_{n+1} = \dfrac{5u_n}{3u_n + 5}un+1​=3un​+55un​​
. On admettra que la suite est strictement positive.
1.Montrer que la suite
(un)\left(u_n\right)(un​)
 est strictement monotone.
2.Soit
(vn)\left(v_n\right)(vn​)
 la suite définie par : pour tout entier
nnn
 strictement positif,
vn=5unv_n = \dfrac{5}{u_n}vn​=un​5​
.
    a.Montrer que la suite
(vn)\left(v_n\right)(vn​)
 est arithmétique.
    b.Exprimer
vnv_nvn​
 en fonction de
nnn
, puis
unu_nun​
 en fonction de
nnn
.

S=450S = 450S=450
.

*** Une suite géométrique étonnante

Conseil: résoudre d'abord l'exercice « Une suite arithmétique étonnante ».
Soit
(un)(u_n)(un​)
la suite géométrique décroissante telle que : 
{u0+u1+u2=999u0×u1×u2=729 000\begin{cases} u_0 + u_1 + u_2 = 999 \\ u_0 \times u_1 \times u_2 = 729\,000 \\ \end{cases}{u0​+u1​+u2​=999u0​×u1​×u2​=729000​
1.Déterminer 
u0,u1u_0, u_1u0​,u1​
 et 
u2u_2u2​
.
2.Soit
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
 et 
S=u0+u1+u2 +...+ unS = u_0 + u_1 + u_2 \, + ... + \, u_nS=u0​+u1​+u2​+...+un​
.
Déterminer
nnn
 tel que 
S=999 999S = 999\,999S=999999
.