Taux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques
L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel
a
.
Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction
f
définie sur
\mathbbR
par
f(x)=x^2
,
f
est la fonction carré.
On appelle
\text{A}
le point de
C_f
d’abscisse
a
.
On appelle
\text{M}
le point de
C_f
d’abscisse
a+h
,
h
étant un réel non nul.
Ainsi la droite
\text{(AM)}
est sécante à
C_f
.
1. Taux de variation et coefficient directeur de sécantes
Le fichier de géométrie dynamique suivant affiche la courbe représentative de la fonction carré.
a.Choisir`\text{1}`pour abscisse du point
\text{A}
.
b. En faisant varier le curseur
h
, décrire la position de la droite
selon les valeurs prises par
h
.
c.Pour
h=1
, calculer le coefficient directeur de la droite
\text{(AM)}
puis le taux de variation de la fonction
f
entre `\text{1}` et `\text{2}`. Que remarque-t-on ?On pourra faire afficher sur le fichier le taux de variation en sélectionnant la boîte « Taux ».
2. Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangenteDans cette question,\(\text A\)est le point d'abscisse
de la courbe représentative de la fonction
.
a.Exprimer le coefficient directeur de la droite
\text{(AM)}
en fonction de
h
.
b.Établir le lien entre le taux de variation de
f
en
1
et le coefficient directeur de la droite
\text{(AM)}
.
c.En faisant varier le curseur
h
, de sorte qu'il approche le plus possible
\text{0}
, observer et décrire les positions prises par le point
\text{M}
puis celles prises par la droite
\text{(AM)}
.
d.Lorsque
h=0
, le logiciel n'affiche plus de droite. Comment peut-on expliquer cela ? Appuyer sur« Position limite » puis donner le coefficient directeur de la droite rouge qui apparaît.
La droite correspondant à cette position limite s'appelle droite tangente à la courbe représentative de la fonction
f
au point d'abscisse`\text{1}`. Son coefficient directeur est lenombre dérivéde la fonction
f
au point d'abscisse`\text{1}`, c'est-à-dire la limite, quand elle existe, lorsque
h
tend vers
\text{0}
du taux de variation de la fonction
f
entre `\text{1}` et`\text{1}+h`. On le note
.
Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.