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Taux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi...

Sommaire

Activité complèteTaux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques
Étape par étapeQuestion 1Question 2

Activité complète

Taux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel 
a
.
Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction
f
définie sur
\mathbbR
par
f(x)=x^2
, 
f
est la fonction carré.
On appelle 
\text{A}
 le point de 
C_f
 d’abscisse
a
.
On appelle
\text{M}
 le point de
C_f
 d’abscisse 
a+h
,
h
étant un réel non nul.
Ainsi la droite
\text{(AM)}
est sécante à
C_f
.
1. Taux de variation et coefficient directeur de sécantes
Le fichier de géométrie dynamique suivant affiche la courbe représentative de la fonction carré.
a.Choisir`\text{1}`pour abscisse du point 
\text{A}
.
b. En faisant varier le curseur
h
, décrire la position de la droite 
(AM)\text{(AM)}(AM)
 selon les valeurs prises par 
h
.
c.Pour 
h=1
, calculer le coefficient directeur de la droite
\text{(AM)}
puis le taux de variation de la fonction 
f
entre `\text{1}`  et `\text{2}`. Que remarque-t-on ?On pourra faire afficher sur le fichier le taux de variation en sélectionnant la boîte « Taux ».
2. Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangenteDans cette question,\(\text A\)est le point d'abscisse
1\text 11
de la courbe représentative de la fonction
fff
.
a.Exprimer le coefficient directeur de la droite 
\text{(AM)}
en fonction de 
h
.
b.Établir le lien entre le taux de variation de
f
 en
1
 et le coefficient directeur de la droite 
\text{(AM)}
.
c.En faisant varier le curseur
h
, de sorte qu'il approche le plus possible
\text{0}
, observer et décrire les positions prises par le point
\text{M}
puis celles prises par la droite
\text{(AM)}
.
d.Lorsque
h=0
, le logiciel n'affiche plus de droite. Comment peut-on expliquer cela ? Appuyer sur« Position limite » puis donner le coefficient directeur de la droite rouge qui apparaît.
La droite correspondant à cette position limite s'appelle droite tangente à la courbe représentative de la fonction
f
 au point d'abscisse`\text{1}`. Son coefficient directeur est lenombre dérivéde la fonction 
f
 au point d'abscisse`\text{1}`, c'est-à-dire la limite, quand elle existe, lorsque
h
tend vers 
\text{0}
du taux de variation de la fonction
f
entre `\text{1}` et`\text{1}+h`. On le note
f′(1)f'(1)f′(1)
. 
Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.

Étape par étape

Question 1

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel 
a
.
Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction
f
définie sur
\mathbbR
par
f(x)=x^2
, 
f
est la fonction carré.
On appelle 
\text{A}
 le point de 
C_f
 d’abscisse
a
.
On appelle
\text{M}
 le point de
C_f
 d’abscisse 
a+h
,
h
étant un réel non nul.
Ainsi la droite
\text{(AM)}
est sécante à
C_f
.
1. Taux de variation et coefficient directeur de sécantes
Le fichier de géométrie dynamique suivant affiche la courbe représentative de la fonction carré.
a.Choisir`\text{1}`pour abscisse du point 
\text{A}
.
b. En faisant varier le curseur
h
, décrire la position de la droite 
(AM)\text{(AM)}(AM)
 selon les valeurs prises par 
h
.
c.Pour 
h=1
, calculer le coefficient directeur de la droite
\text{(AM)}
puis le taux de variation de la fonction 
f
entre `\text{1}`  et `\text{2}`. Que remarque-t-on ?On pourra faire afficher sur le fichier le taux de variation en sélectionnant la boîte « Taux ».
Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.

Question 2

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel 
a
.
Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction
f
définie sur
\mathbbR
par
f(x)=x^2
, 
f
est la fonction carré.
On appelle 
\text{A}
 le point de 
C_f
 d’abscisse
a
.
On appelle
\text{M}
 le point de
C_f
 d’abscisse 
a+h
,
h
étant un réel non nul.
Ainsi la droite
\text{(AM)}
est sécante à
C_f
.
2. Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangenteDans cette question,\(\text A\)est le point d'abscisse
1\text 11
de la courbe représentative de la fonction
fff
.
a.Exprimer le coefficient directeur de la droite 
\text{(AM)}
en fonction de 
h
.
b.Établir le lien entre le taux de variation de
f
 en
1
 et le coefficient directeur de la droite 
\text{(AM)}
.
c.En faisant varier le curseur
h
, de sorte qu'il approche le plus possible
\text{0}
, observer et décrire les positions prises par le point
\text{M}
puis celles prises par la droite
\text{(AM)}
.
d.Lorsque
h=0
, le logiciel n'affiche plus de droite. Comment peut-on expliquer cela ? Appuyer sur« Position limite » puis donner le coefficient directeur de la droite rouge qui apparaît.
La droite correspondant à cette position limite s'appelle droite tangente à la courbe représentative de la fonction
f
 au point d'abscisse`\text{1}`. Son coefficient directeur est lenombre dérivéde la fonction 
f
 au point d'abscisse`\text{1}`, c'est-à-dire la limite, quand elle existe, lorsque
h
tend vers 
\text{0}
du taux de variation de la fonction
f
entre `\text{1}` et`\text{1}+h`. On le note
f′(1)f'(1)f′(1)
. 
Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.