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Cinématique d'un point

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 

Sommaire

Activité complèteCinématique d'un pointVitesse instantanée
Étape par étapeQuestion 1Questions 2 et 3Question 4Question 5

Activité complète

Cinématique d'un point

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 
On a relevé la distance
d(t)d(t)d(t)
, en mètres, parcourue par l'objet entre
000
et
444
 secondes, par pas d'une seconde.
La représentation graphique des points de coordonnées
(t;d(t))(t;d(t))(t;d(t))
 pour les valeurs relevées suggère une relation quadratique entre
ttt
 et
d(t)d(t)d(t)
, c'est-à-dire l'existence de trois réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
, 
a
non nul, tels que, pour tout
t∈[0;4]t \in [0;4]t∈[0;4]
, 
d(t)=at2+bt+cd(t) = at^2 +bt +cd(t)=at2+bt+c
.
Questions
1.Déterminer
aaa
,
bbb
 et
ccc
 à l'aide des relevés effectués.
2.Quelle est la vitesse moyenne de l'objet entre les instants
t1=1t_1=1t1​=1
 et 
t2=2t_2=2t2​=2
 puis entre les instants
t3=3t_3=3t3​=3
 et
t4=4t_4=4t4​=4
 ? L'objet se déplace-t-il à vitesse constante ?
3.Démontrer que la vitesse moyenneentre les instants
t1t_1t1​
 et
t1+ht_1 +ht1​+h
 où
−1⩽h⩽3-1 \leqslant h \leqslant 3−1⩽h⩽3
peut s'écrire sous la forme
v1(h)=9,8+4,9hv_1(h)=9,8 + 4,9 hv1​(h)=9,8+4,9h
.
4.Lorsque
hhh
 tend vers
000
,
v1(h)v_1(h)v1​(h)
tend vers la vitesse instantanée à l'instant
t=1t=1t=1
, on la note
v(1)v(1)v(1)
. Déterminer la valeur de
v(1)v(1)v(1)
.
5.Déterminer la vitesse instantanée de l'objet à l'instant
t2=2t_2=2t2​=2
.

Vitesse instantanée

Propriété
Si le mouvement d'un mobile est décrit par la loi horaire
d:t↦d(t)d: t \mapsto d(t)d:t↦d(t)
 (c'est-à-dire que
d(t)d(t)d(t)
 est la distance parcourue par le mobile depuis l'instant
t=0t=0t=0
) et si la fonction
ddd
 est dérivable en un réel
t0t_0t0​
positif, alors lavitesse instantanéedu mobile à l'instant
t=t0t=t_0t=t0​
 est
v(t0)=lim⁡h→0d(t0+h)−d(t0)hv(t_0)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ d(t_0+h) -d(t_0)}{h}v(t0​)=h→0lim​hd(t0​+h)−d(t0​)​
c'est-à-dire le nombre dérivé,
d′(t0)d'(t_0)d′(t0​)
, de la fonction
ddd
en
t=t0t=t_0t=t0​
.

Étape par étape

Question 1

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 
On a relevé la distance
d(t)d(t)d(t)
, en mètres, parcourue par l'objet entre
000
et
444
 secondes, par pas d'une seconde.
La représentation graphique des points de coordonnées
(t;d(t))(t;d(t))(t;d(t))
 pour les valeurs relevées suggère une relation quadratique entre
ttt
 et
d(t)d(t)d(t)
, c'est-à-dire l'existence de trois réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
, 
a
non nul, tels que, pour tout
t∈[0;4]t \in [0;4]t∈[0;4]
, 
d(t)=at2+bt+cd(t) = at^2 +bt +cd(t)=at2+bt+c
.
Question 1
Déterminer
aaa
,
bbb
 et
ccc
 à l'aide des relevés effectués.

Questions 2 et 3

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 
On a relevé la distance
d(t)d(t)d(t)
, en mètres, parcourue par l'objet entre
000
et
444
 secondes, par pas d'une seconde.
La représentation graphique des points de coordonnées
(t;d(t))(t;d(t))(t;d(t))
 pour les valeurs relevées suggère une relation quadratique entre
ttt
 et
d(t)d(t)d(t)
, c'est-à-dire l'existence de trois réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
, 
a
non nul, tels que, pour tout
t∈[0;4]t \in [0;4]t∈[0;4]
, 
d(t)=at2+bt+cd(t) = at^2 +bt +cd(t)=at2+bt+c
.
Question 2
Quelle est la vitesse moyenne de l'objet entre les instants
t1=1t_1=1t1​=1
 et 
t2=2t_2=2t2​=2
 puis entre les instants
t3=3t_3=3t3​=3
 et
t4=4t_4=4t4​=4
 ? L'objet se déplace-t-il à vitesse constante ?
Question 3
Démontrer que la vitesse moyenneentre les instants
t1t_1t1​
 et
t1+ht_1 +ht1​+h
 où
−1⩽h⩽3-1 \leqslant h \leqslant 3−1⩽h⩽3
peut s'écrire sous la forme
v1(h)=9,8+4,9hv_1(h)=9,8 + 4,9 hv1​(h)=9,8+4,9h
.

Question 4

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 
On a relevé la distance
d(t)d(t)d(t)
, en mètres, parcourue par l'objet entre
000
et
444
 secondes, par pas d'une seconde.
La représentation graphique des points de coordonnées
(t;d(t))(t;d(t))(t;d(t))
 pour les valeurs relevées suggère une relation quadratique entre
ttt
 et
d(t)d(t)d(t)
, c'est-à-dire l'existence de trois réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
, 
a
non nul, tels que, pour tout
t∈[0;4]t \in [0;4]t∈[0;4]
, 
d(t)=at2+bt+cd(t) = at^2 +bt +cd(t)=at2+bt+c
.
Question 4
Lorsque
hhh
 tend vers
000
,
v1(h)v_1(h)v1​(h)
tend vers la vitesse instantanée à l'instant
t=1t=1t=1
, on la note
v(1)v(1)v(1)
. Déterminer la valeur de
v(1)v(1)v(1)
.

Question 5

Un objet, lâché du haut d'une tour, parcourt une trajectoire verticale. 
On a relevé la distance
d(t)d(t)d(t)
, en mètres, parcourue par l'objet entre
000
et
444
 secondes, par pas d'une seconde.
La représentation graphique des points de coordonnées
(t;d(t))(t;d(t))(t;d(t))
 pour les valeurs relevées suggère une relation quadratique entre
ttt
 et
d(t)d(t)d(t)
, c'est-à-dire l'existence de trois réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
, 
a
non nul, tels que, pour tout
t∈[0;4]t \in [0;4]t∈[0;4]
, 
d(t)=at2+bt+cd(t) = at^2 +bt +cd(t)=at2+bt+c
.
Question 5
Déterminer la vitesse instantanée de l'objet à l'instant
t2=2t_2=2t2​=2
.