Au sommet d’un terril de
\text{25}\ m
de haut, on a planté un bâton de
de haut. On modélise en coupe le terril par un morceau de la parabole représentative de la fonction
f
définie sur
[-5;5]
par
f(x)=-x^2+25
.
Si Alexis, même du haut de ses
, se place trop près du pied du terril, il ne verra plus le bâton. On se demande à quelle distance minimale il doit se placer s’il veut apercevoir au moins le haut du bâton.
Approximation affine
Approximation affine de\(\boldsymbol{(1+x)^3}\) pour \(\boldsymbol x\) proche de \(\boldsymbol 0\)
Nous avons l'habitude d'utiliser des valeurs approchées de nombres réels, par exemple
\pi \approx 3,14
. Lorsqu'on travaille avec une fonction
f
définie sur un intervalle
I
et dérivable en
a
, nombre réel appartenant à
I
, il existe une démarche similaire pour approximer
f
. Elle permet d'approcher les valeurs
f(x)
, pour
x
proche de
a
, par les images d'une fonction affine. Ce procédé s'appelleapproximation affine.
La figure suivante montre un exemple : la droite rouge représente l'approximation affine de la fonction représentée par la courbe verte autour de
\text{0
.
En zoomant à l'intérieur du cercle pointillé, on remarque que les images des réels proches de
\text{0
par la fonction affine sont proches de celles obtenues par la fonction
f
, comme montré dans la figure suivante.
L'objectif de cette exercice est de déterminer l'approximation affine de la fonction
f
définie sur
\mathbb(R)
par
f(x)=(1+x)^3
pour
x
proche de
0
.
1.Justifier que la fonction
f
est dérivable en
x=0
puis calculer
f'(0)
.
2.Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de
f
au point
d'abscisse
1
.
3.Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine
g
, approximation affine de
f
au voisinage de
0
. Compléter la phrase suivante :
Lorsque
x
est proche de
\text{0}
,
(1+x)^3\approx...
4.En utilisant l'approximation affine trouvée, déterminer une valeur approchée de
f(0,03)
.
5.Calculer
f(0,03)-g(0,03)
. Que représente cette quantité dans le contexte de l'approximation affine ?
6.Pour tout
x
proche de
\text{0}
, on définit la fonction
e
par
e(x)=f(x)-g(x)
; cette fonction est appelée « fonction d'erreur ». Expliquer pourquoi elle s'appelle ainsi, puis déterminer l'expression de
e(x)
en fonction de
x
.
7.En suivant le même plan de travail, déterminer l'approximation affine en
\text{0}
de la fonction définie par :
f(x)=x^4-x^3+2
.
Dérivées successives
Dans cet exercice, on va dériver plusieurs fois une fonction. La fonction choisie peut être dérivée autant de fois que l'on veut sur l'intervalle proposé. On notera
la fonction dérivée de
,
la fonction dérivée de
et
la dérivée de
.
1.Donner l'expression des dérivées successives
,
et
de la fonction
définie sur
par
.
2.Soit
un entier naturel non nul. On change les notations et on note
la « dérivée
-ième » de la fonction
, c'est-à-dire la fonction obtenue en dérivant
fois de suite la fonction
. a.Déduire de la question précédente l'expression de
,
et
. b.Quelle semble être l'expression de
en fonction de
n
?
Le bal des tangentes - Sujet d'olympiades - Ameriques Antilles Guyane 2022 exercice 2
Soit
un réel non nul,
,
et
des réels. On considère la fonction
définie sur
par :
pour tout
réel.
On appelle
la courbe représentative de
dans un repère orthonormé. La tangente à la courbe
au point d’abscisse
est notée
.
1.Si
et
sont des réels, montrer que
.
2.On suppose qu’il existe deux réels distincts
et
tels que la droite
passe par le point de
d’abscisse
.
Prouver que dans ce cas :
.
3.Montrer qu’il n’existe pas trois réels distincts
,
et
tels que les trois conditions suivantes soient réalisées :
La droite
passe par le point de
d’abscisse
,
La droite
passe par le point de
d’abscisse
,
La droite
passe par le point de
d’abscisse
.
4.Soit
la fonction définie sur
par :
.
On appelle
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Déterminer des réels
,
,
,
tels que les conditions suivantes soient réalisées :
La tangente à
au point d’abscisse
passe par le point de
d’abscisse
,
La tangente à
au point d’abscisse
passe par le point de
d’abscisse
,
La tangente à
au point d’abscisse
passe par le point de
d’abscisse
,
La tangente à
au point d’abscisse
passe par le point de
d’abscisse
.