Revenir
Revenir

Exercices bilan et problèmes

de haut, on a planté un bâton de

Sommaire

Alexis et le terrilApproximation affineDérivées successivesLe bal des tangentes - Sujet d'olympiades - Ameriques Antilles Guyane 2022 exercice 2

Alexis et le terril

Au sommet d’un terril de 
\text{25}\ m
de haut, on a planté un bâton de
1 m1\, \text m1m
de haut. On modélise en coupe le terril par un morceau de la parabole représentative de la fonction 
f
définie sur 
[-5;5]
par
f(x)=-x^2+25
.
Si Alexis, même du haut de ses 
1,80 m\text{1,80}\ \text m1,80 m
, se place trop près du pied du terril, il ne verra plus le bâton. On se demande à quelle distance minimale il doit se placer s’il veut apercevoir au moins le haut du bâton.

Approximation affine

Approximation affine de\(\boldsymbol{(1+x)^3}\) pour \(\boldsymbol x\) proche de \(\boldsymbol 0\)
Nous avons l'habitude d'utiliser des valeurs approchées de nombres réels, par exemple
\pi \approx 3,14
. Lorsqu'on travaille avec une fonction
f
définie sur un intervalle
I
et dérivable en
a
, nombre réel appartenant à
I
, il existe une démarche similaire pour approximer
f
. Elle permet d'approcher les valeurs
f(x)
, pour
x
proche de
a
, par les images d'une fonction affine. Ce procédé s'appelleapproximation affine.
La figure suivante montre un exemple : la droite rouge représente l'approximation affine de la fonction représentée par la courbe verte autour de
\text{0
.
En zoomant à l'intérieur du cercle pointillé, on remarque que les images des réels proches de 
\text{0
par la fonction affine sont proches de celles obtenues par la fonction
f
, comme montré dans la figure suivante.
L'objectif de cette exercice est de déterminer l'approximation affine de la fonction
f
 définie sur 
\mathbb(R)
par
f(x)=(1+x)^3
pour 
x
 proche de 
0
.
1.Justifier que la fonction
f
est dérivable en
x=0
puis calculer
f'(0)
.
2.Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de 
f
 au point
A\text AA
 d'abscisse 
1
.
3.Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine
g
, approximation affine de 
f
 au voisinage de 
0
. Compléter la phrase suivante :
Lorsque
x
est proche de
\text{0}
,
(1+x)^3\approx...
4.En utilisant l'approximation affine trouvée, déterminer une valeur approchée de
f(0,03)
.
5.Calculer 
f(0,03)-g(0,03)
. Que représente cette quantité dans le contexte de l'approximation affine ?
6.Pour tout
x
proche de
\text{0}
, on définit la fonction
e
par
e(x)=f(x)-g(x)
 ; cette fonction est appelée « fonction d'erreur ». Expliquer pourquoi elle s'appelle ainsi, puis déterminer l'expression de 
e(x)
en fonction de 
x
.
7.En suivant le même plan de travail, déterminer l'approximation affine en 
\text{0}
de la fonction définie par :
f(x)=x^4-x^3+2
. 

Dérivées successives

Dans cet exercice, on va dériver plusieurs fois une fonction. La fonction choisie peut être dérivée autant de fois que l'on veut sur l'intervalle proposé. On notera 
f′′f''f′′
 la fonction dérivée de 
f′f'f′
, 
f′′′f'''f′′′
 la fonction dérivée de 
f′′f''f′′
 et 
f′′′′f''''f′′′′
 la dérivée de 
f′′′f'''f′′′
.
1.Donner l'expression des dérivées successives 
f′f'f′
,
f′′f''f′′
f′′′f'''f′′′
et
f′′′′f''''f′′′′
 de la fonction
fff
 définie sur
]−∞  ;  0[∪]0  ;  +∞[\left]-\infty \; ; \; 0\right[ \cup \left]0 \; ; \; +\infty\right[]−∞;0[∪]0;+∞[
 par 
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}f(x)=x1​
.
2.Soit 
nnn
 un entier naturel non nul. On change les notations et on note 
f(n)f^{(n)}f(n)
 la « dérivée
nnn
-ième » de la fonction 
fff
, c'est-à-dire la fonction obtenue en dérivant 
nnn
 fois de suite la fonction 
fff
.   a.Déduire de la question précédente l'expression de 
f(2)f^{(2)}f(2)
, 
f(3)f^{(3)}f(3)
 et 
f(4)f^{(4)}f(4)
.  b.Quelle semble être l'expression de 
f(n)f^{(n)}f(n)
en fonction de
n
?

Le bal des tangentes - Sujet d'olympiades - Ameriques Antilles Guyane 2022 exercice 2

Soit 
aaa
un réel non nul,
bbb
,
ccc
et 
ddd
des réels. On considère la fonction
fff
définie sur 
R\mathbf{R}R
par :
f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d
 pour tout 
xxx
réel.
On appelle 
CfC_fCf​
 la courbe représentative de 
fff
dans un repère orthonormé. La tangente à la courbe 
CfC_fCf​
au point d’abscisse 
α\alphaα
est notée
TαT_\alphaTα​
.
1.Si 
xxx
et 
yyy
sont des réels, montrer que
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
.
2.On suppose qu’il existe deux réels distincts 
α\alphaα
et 
β\betaβ
tels que la droite 
TαT_\alphaTα​
passe par le point de 
CfC_fCf​
d’abscisse
β\betaβ
.
Prouver que dans ce cas :
a(2α+β)+b=0a(2\alpha+\beta)+b=0a(2α+β)+b=0
.
3.Montrer qu’il n’existe pas trois réels distincts
α\alphaα
, 
β\betaβ
et 
γ\gammaγ
tels que les trois conditions suivantes soient réalisées :
La droite 
TαT_\alphaTα​
passe par le point de 
CfC_fCf​
d’abscisse
β\betaβ
,
La droite 
TβT_\betaTβ​
passe par le point de 
CfC_fCf​
d’abscisse
γ\gammaγ
,
La droite 
TγT_\gammaTγ​
passe par le point de 
CfC_fCf​
 d’abscisse
α\alphaα
.
4.Soit 
ggg
la fonction définie sur 
R\mathbf{R}R
par : 
g(x)=(x2−1)2g(x)=(x^2-1)^2g(x)=(x2−1)2
.
On appelle 
CgC_gCg​
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Déterminer des réels
x1x_1x1​
, 
x2x_2x2​
,
x3x_3x3​
, 
x4x_4x4​
 tels que les conditions suivantes soient réalisées : 
La tangente à 
CgC_gCg​
au point d’abscisse 
x1x_1x1​
 passe par le point de 
CgC_gCg​
d’abscisse
x2x_2x2​
,
La tangente à 
CgC_gCg​
au point d’abscisse 
x2x_2x2​
 passe par le point de 
CgC_gCg​
d’abscisse
x3x_3x3​
,
La tangente à 
CgC_gCg​
au point d’abscisse 
x3x_3x3​
 passe par le point de 
CgC_gCg​
d’abscisse
x4x_4x4​
,
La tangente à 
CgC_gCg​
au point d’abscisse 
x4x_4x4​
 passe par le point de 
CgC_gCg​
d’abscisse
x1x_1x1​
.