Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle
de
et
un réel appartenant à
.
est leminimum de\(f\)sur \(I\)si et seulement si, pour tout réel
,
.
est lemaximumde\(f\)sur \(I\)si et seulement si, pour tout réel
,
.
On appelle extremum d'une fonction un minimum ou un maximum. Au pluriel, ces mots d'origine latine se disent extrema, minima, maxima.
Exemple
Soit
f
une fonction définie sur
[-5;10]
admettant le tableau de variations ci-dessous.
On lit les extrema de
f
dans ce tableau :
• le minimum de
f
sur
[-5;10]
est
1
, il est atteint en
x=2
;
• le maximum de
f
sur
[-5;10]
est
9
, il est atteint en
x=4
.
En revanche, sur
[-5;2]
, le maximum est
8
atteint en
x=-5
.
✎ Déterminer des extrema
Propriété
Soit
f
une fonction définie et dérivable sur un intervalle\(I\)de
ouvert et
a
un réel appartenant à
I
(
a
n'est donc pas une borne de
I
).
Si
f
admet un extremum en
a
, alors
.
Remarques
• L'implication n'est plus vraie si l'intervalle
n'est pas ouvert. C'est le cas, par exemple, de la fonction carrée, définie et dérivable sur l'intervalle
. Elle est strictement croissante sur
et son maximum vaut
et est atteint en
. Pourtant
.
• Il existe bien des fonctions non dérivables en un réel
, mais qui admettent en ce point un extremum. C'est le cas, par exemple, de la fonction valeur absolue qui admet
comme minimum sur
atteint en
mais elle n'est pas dérivable en
.
Démonstration
Soit
f
une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert
I
et
a
un réel appartenant à
I
(
n'est donc pas une borne de
I
).
Supposons que
admette en
un maximum qui vaut
. Alors, pour tout réel
et pour tout
.
Or
est dérivable en
et
f^{\prime}(a)=\lim_\limits{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
.
On distingue deux cas selon le signe de
:
• si
, alors
et donc, par passage à la limite,
.
• si
, alors
et donc, par passage à la limite,
.
Ces deux dernières inégalités permettent de conclure que
.
On raisonne de façon similaire dans le cas où
admet un minimum en
a
.
Remarque
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction cube, définie sur
par
, admet comme dérivée
. Cette dérivée s'annule en
. Pourtant,
n'admet pas d'extremum en
(elle est strictement croissante sur
).
✎ Extrema et aspect graphique
Propriété
Soit
f
une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I
de
ouvert et
a
un réel appartenant à
I
(
a
n'est pas une borne de
I
).
Si
s'annule en
en changeant de signe, alors
est un extremum de
sur
.
Méthode
On peut conclure que, pour déterminer les réels
a
tels que
est un extremum d'une fonction
sur un intervalle
I
, on procède en étudiant :
1.les valeurs qui annulent la dérivé de
, lorsqu'elle est dérivable, en s'assurant que
f'(x)
change de signe en
a
;
2.les valeurs prises par
f
aux bornes de l'intervalle
lorsqu'il est fermé ;
3.les points de non-dérivabilité de
sur
I
(s'il y en a) ;
Le tableau suivant résume les cas possibles.
Extrema et variations - Exemple
On considère la fonction
f
définie et dérivable sur l'intervalle
]-1;3[
. La représentation graphique de
est donnée ci-dessous. Nous allons conjecturer les variations de la fonction
f
par lecture graphique de la courbe représentative de sa fonction dérivée
f'
.
• La dérivée de
s'annule deux fois en changeant de signe sur l'intervalle
]-1;3[
en
x=0
et en
x=2
. On en déduit que la fonction
f
change deux fois de variations.
• Sur
]-1;0[
,
f'(x)<0
et sur
]0;2[
,
f'(x)>0
. La fonction
f
est décroissante sur
]-1;0[
puis croissantesur
]0;2[
. Elle admet donc un extremum local en
x=0
qui est un minimum.
• De la même façon, sur
]0;2[
,
f'(x)>0
et sur
]2;3[
,
f'(x)<0
. La fonction
f
est croissante sur
]0;2[
et décroissante sur
]2;3[
. Elle admet donc un extremum local en
x=2
qui est un maximum.