Revenir
Revenir

Extrema d'une fonction

 une fonction définie sur un intervalle 

Sommaire

Extrema d'une fonction✎ Déterminer des extrema✎ Extrema et aspect graphiqueExtrema et variations - Exemple

Extrema d'une fonction

Définition
Soit 
fff
 une fonction définie sur un intervalle 
III
de
R\mathbb RR
et 
aaa
 un réel appartenant à 
III
. 
f(a)f(a)f(a)
est leminimum de\(f\)sur \(I\)si et seulement si, pour tout réel 
x∈Ix\in Ix∈I
, 
f(x)⩾f(a)f(x)\geqslant f(a)f(x)⩾f(a)
.
f(a)f(a)f(a)
est lemaximumde\(f\)sur \(I\)si et seulement si, pour tout réel 
x∈Ix\in Ix∈I
, 
f(x)⩽f(a)f(x)\leqslant f(a)f(x)⩽f(a)
.
On appelle extremum d'une fonction un minimum ou un maximum. Au pluriel, ces mots d'origine latine se disent extrema, minima, maxima.
Exemple
Soit 
f
une fonction définie sur 
[-5;10]
 admettant le tableau de variations ci-dessous.
On lit les extrema de 
f
 dans ce tableau :
    • le minimum de 
f
 sur
[-5;10]
 est 
1
, il est atteint en 
x=2
 ; 
    • le maximum de 
f
 sur
[-5;10]
 est 
9
, il est atteint en 
x=4
. 
En revanche, sur 
[-5;2]
, le maximum est 
8
 atteint en 
x=-5
. 

✎ Déterminer des extrema

Propriété
Soit 
f
 une fonction définie et dérivable sur un intervalle\(I\)de
R\mathbb RR
ouvert et 
a
 un réel appartenant à 
I
(
a
n'est donc pas une borne de 
I
).
Si 
f
 admet un extremum en 
a
, alors 
f′(a)=0f^{\prime}(a)=0f′(a)=0
.
Remarques
    • L'implication n'est plus vraie si l'intervalle 
III
n'est pas ouvert. C'est le cas, par exemple, de la fonction carrée, définie et dérivable sur l'intervalle 
I=[0;1]I=[0;1]I=[0;1]
. Elle est strictement croissante sur 
III
et son maximum vaut
111
et est atteint en
x=1x=1x=1
. Pourtant 
f′(1)=2f'(1)=2f′(1)=2
. 
    • Il existe bien des fonctions non dérivables en un réel
aaa
, mais qui admettent en ce point un extremum. C'est le cas, par exemple, de la fonction valeur absolue qui admet 
000
 comme minimum sur 
R\mathbb{R}R
 atteint en
x=0x=0x=0
 mais elle n'est pas dérivable en 
000
.
Démonstration 
Soit 
f
 une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert
I
 et 
a
 un réel appartenant à 
I
(
aaa
n'est donc pas une borne de 
I
).  
Supposons que 
fff
 admette en 
aaa
 un maximum qui vaut 
f(a)f(a)f(a)
. Alors, pour tout réel 
x∈I,f(x)⩽f(a)⇔f(x)−f(a)⩽0x\in I, f(x)\leqslant f(a) \Leftrightarrow f(x)-f(a) \leqslant 0x∈I,f(x)⩽f(a)⇔f(x)−f(a)⩽0
et pour tout 
h≠0,f(a+h)−f(a)≤0h\ne0, f(a+h)-f(a)\leq0h=0,f(a+h)−f(a)≤0
. 
Or 
fff
est dérivable en 
aaa
 et 
f^{\prime}(a)=\lim_\limits{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
. 
On distingue deux cas selon le signe de 
hhh
 : 
    • si 
h>0h>0h>0
, alors 
f(a+h)−f(a)h≤0\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\leq0hf(a+h)−f(a)​≤0
 et donc, par passage à la limite, 
f′(a)⩽0f'(a)\leqslant0f′(a)⩽0
. 
    • si 
h<0h<0h<0
, alors 
f(a+h)−f(a)h≥0\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\geq0hf(a+h)−f(a)​≥0
 et donc, par passage à la limite, 
f′(a)⩾0f'(a)\geqslant0f′(a)⩾0
. 
Ces deux dernières inégalités permettent de conclure que 
f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0
. 
On raisonne de façon similaire dans le cas où 
fff
admet un minimum en
a
.
Remarque
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction cube, définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3
, admet comme dérivée 
f′(x)=3x2f'(x)=3x^2f′(x)=3x2
. Cette dérivée s'annule en 
000
. Pourtant, 
fff
 n'admet pas d'extremum en 
000
 (elle est strictement croissante sur
R\mathbb{R}R
). 

✎ Extrema et aspect graphique

Propriété
Soit 
f
 une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I
de
R\mathbb RR
ouvert et 
a
 un réel appartenant à 
I
(
a
n'est pas une borne de 
I
). 
Si 
fff
 s'annule en 
aaa
 en changeant de signe, alors 
f(a)f(a)f(a)
 est un extremum de 
fff
 sur 
III
.
 Méthode
On peut conclure que, pour déterminer les réels 
a
tels que
f(a)f(a)f(a)
est un extremum d'une fonction 
fff
sur un intervalle
I
, on procède en étudiant :
1.les valeurs qui annulent la dérivé de
fff
, lorsqu'elle est dérivable, en s'assurant que 
f'(x)
change de signe en 
a
;
2.les valeurs prises par
f
aux bornes de l'intervalle
III
lorsqu'il est fermé ;
3.les points de non-dérivabilité de
fff
sur
I
(s'il y en a) ; 
Le tableau suivant résume les cas possibles.

Extrema et variations - Exemple

On considère la fonction 
f
 définie et dérivable sur l'intervalle
]-1;3[
. La représentation graphique de 
f′f^{\prime}f′
 est donnée ci-dessous. Nous allons conjecturer les variations de la fonction
f
par lecture graphique de la courbe représentative de sa fonction dérivée
f'
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La dérivée de 
fff
 s'annule deux fois en changeant de signe sur l'intervalle
]-1;3[
 en 
x=0
 et en 
x=2
. On en déduit que la fonction 
f
 change deux fois de variations. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Sur 
]-1;0[
, 
f'(x)<0
 et sur 
]0;2[
, 
f'(x)>0
. La fonction 
f
est décroissante sur 
]-1;0[
puis croissantesur 
]0;2[
. Elle admet donc un extremum local en 
x=0
 qui est un minimum. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;De la même façon, sur 
]0;2[
, 
f'(x)>0
 et sur 
]2;3[
, 
f'(x)<0
. La fonction 
f
 est croissante sur 
]0;2[
et décroissante sur 
]2;3[
. Elle admet donc un extremum local en 
x=2
 qui est un maximum.