Définition et propriétés de la fonction exponentielle

Définition

Il existe une unique fonction, notée

\text{exp}

, définie et dérivable sur 

\mathbb{R}

telle que 

\text{exp}' = \text{exp}

et

\text{exp}(0)=1

. Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Démonstration

On admet l'existence de la fonction exponentielle et on va prouver son unicité.

Soit

f

une fonction définie et dérivable sur

\mathbb{R}

telle que 

f' = f

et

f(0)=1

. On démontre d'abord que

f

 ne s'annule pas sur

\mathbb{R}

, puis on raisonne par l'absurde en supposant l'existence d'une autre fonction vérifiant les mêmes propriétés et on aboutira à une contradiction.

1.La fonction\(\boldsymbol{f}\) ne s'annule pas sur\(\boldsymbol{\mathbb{R}}\)
Soit 

g

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) = f(x) f(-x)

.
La fonction

g

 est dérivable sur 

\mathbb{R}

 en tant que produit de fonctions dérivables et, pour tout

x

 réel, 

g'(x) = f'(x) f(-x)- f(x) f'(-x) = f(x) f(-x)- f(x) f(-x) = 0

.
On en déduit que 

g

est une fonction constante. 
Or, 

f(0) = 1

, donc 

g(0) = f(0) f(-0) = 1

.
Comme

g

est constante sur

\mathbb R

, on en déduit que, pour tout

x

réel,

g(x) = 1

.
Ainsi, pour tout

x

 réel, 

f(x) f(-x) = 1

, ce qui permet de conclure que la fonction 

f

ne s'annule pas sur 

\mathbb{R}

.

2. Supposons qu'il existe une fonction\(\boldsymbol{\bar{f}}\) différente de\(\boldsymbol{f}\)telle que 

\bar{f}' = \bar{f}

et

\bar{f}(0)=1

.
D'après le résultat précédent, 

f

et

\bar{f}

 ne s'annulent pas sur

\mathbb{R}

. On peut alors définir la fonction

h

de la façon suivante : pour tout 

x

réel,

h(x) = \dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)}

.
La fonction\(h\)est dérivable sur

\mathbb{R}

 en tant que quotient, de dénominateur non nul sur

\mathbb{R}

, de fonctions dérivables et, pour tout 

x

 réel,

h'(x) = \dfrac{f'(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}'(x)}{(\bar{f}(x))^2}= \dfrac{f(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}(x)}{(\bar{f}(x))^2} = 0

.

On en déduit que

h

 est constante sur

\mathbb R

. 
Or, 

f(0) = \bar{f}(0)= 1

, donc 

h(0) = \dfrac{f(0)}{\bar{f}(0)}= \dfrac{1}{1} = 1

, ce qui implique que

h(x) = 1

 pour tout

x

 réel et on peut écrire, pour tout 

x

dans 

\mathbb R

,

\dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)} = 1

c'est-à-dire, 

f(x)=\bar{f}(x)

.
Or, par définition de

\bar f

,

f(x)\ne \bar{f}(x)

pour tout

x

réel, on aboutit à une contradiction.

La fonction 

f

 vérifiant 

f' = f

et

f(0)=1

est unique et

f=\text{exp}

est donc bien la fonction exponentielle.

ThéorèmeRelation fonctionnelle de l'exponentielle

Pour tous réels 

x

et

y

, on a 

\text{exp}(x) \times \text{exp}(y) = \text{exp}(x+y)

.

Démonstration
Soit 

y

un nombre réel et

g

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) = \dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)}

.
La fonction\(g\)est dérivable sur

\mathbb{R}

 en tant que quotient de fonctions dérivables et dont le dénominateur ne s'annule pas sur 

\mathbb R

. Pour tout 

x

 réel,

g'(x) = \dfrac{(\text{exp}(x+y))'\text{exp}(x) - \text{exp}(x+y)(\text{exp}(x))'}{(\text{exp}(x))^2}= \dfrac{\text{exp}(x+y)exp(x) - \text{exp}(x)\text{exp}(x+y)}{(\text{exp}(x))^2} = 0

On en déduit que la fonction 

g

 est constante. 
Or, 

g(0) = \dfrac{\text{exp}(0 + y)}{\text{exp}(0)}= \dfrac{\text{exp}(y)}{1} = \text{exp}(y)

, donc

g(x) = \text{exp}(y)

 pour tout

x

 réel, ce qui implique que 

\dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(y)

, donc que

\text{exp}(x+y) = \text{exp}(x) \times \text{exp}(y)

.

Conséquences

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x

dans

\mathbb R

,

\dfrac{1}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(-x)

.Idée de la preuve: on utilise la relation fonctionnelle avec

y=-x

et on se souvient que

\text{exp}(0)=1

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x,y

dans

\mathbb R

,

\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x-y)

.Idée de la preuve: on écrit, pour tout

x,y

dans

\mathbb R

\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x)\times \dfrac{1}{\text{exp}(y)}= \text{exp}(x)\times {\text{exp}(-y)}

puis on utilise la relation fonctionnelle.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x

dans

\mathbb R

, pour tout 

n

entier naturel

(\text{exp}(x))^n = \text{exp}(n \times x)

.

Remarque
La dernière propriété s'éteint au cas où l'exposant est un réel : pour tout

a

réel,

(\text{exp}(x))^a= \text{exp}(a \times x)

.

Notation
On note

\text e

l'image de

1

par la fonction exponentielle :

\text{exp}(1)=\text e

et on l'appelle nombre de Néper. On utilise de façon équivalente l'une ou l'autre des notations

\text{exp}(x)

et

\text e^x

pour désigner l'image du réel

x

par la fonction exponentielle.

Pour tout réel

x

et

y

, pour tout entier naturel

n

, les propriétés algébriques de la fonction exponentielles s'écrivent aussi :

\text e^x \times \text e^y = \text e^{x+y}

\dfrac{1}{\text e^y} = \text e^{-y}

\dfrac{\text e^x}{\text e^y} = \text e^{x-y}

(\text e^{x})^n = \text e^{n \times x}

Exemples

\text e^3 \times \text e^4 = \text e^{3+4} =\text e^{7}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;\(\dfrac{1}{\text e^3} = \text e^{-3}\)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;\(\dfrac{\text e^{15}}{\text e^4} = \text e^{15-4} = \text e^{11}\)

(\text e^{9})^2 = \text e^{9 \times 2}= \text e^{18}

Théorème (admis)

Le nombre

\text e

est irrationnel. Une valeur approchée de

\text e

à

10^{-2}

près est

2,72

.

Définition de la fonction exponentielle