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Définition et propriétés de la fonction exponentielle

Il existe une unique fonction, notée

Sommaire

Définition de la fonction exponentiellePropriétés algébriques de la fonction exponentielleNombre de Néper et notation

Définition de la fonction exponentielle

Définition
Il existe une unique fonction, notée
exp\text{exp}exp
, définie et dérivable sur 
R\mathbb{R}R
telle que 
exp′=exp\text{exp}' = \text{exp}exp′=exp
 et 
exp(0)=1\text{exp}(0)=1exp(0)=1
. Cette fonction est appelée fonction exponentielle.
Démonstration
On admet l'existence de la fonction exponentielle et on va prouver son unicité.
Soit
fff
une fonction définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
telle que 
f′=ff' = ff′=f
 et 
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
. On démontre d'abord que
fff
 ne s'annule pas sur
R\mathbb{R}R
, puis on raisonne par l'absurde en supposant l'existence d'une autre fonction vérifiant les mêmes propriétés et on aboutira à une contradiction.
1.La fonction\(\boldsymbol{f}\) ne s'annule pas sur\(\boldsymbol{\mathbb{R}}\)
Soit 
ggg
la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
par
g(x)=f(x)f(−x)g(x) = f(x) f(-x)g(x)=f(x)f(−x)
.
La fonction
ggg
 est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
 en tant que produit de fonctions dérivables et, pour tout
xxx
 réel, 
g′(x)=f′(x)f(−x)−f(x)f′(−x)=f(x)f(−x)−f(x)f(−x)=0g'(x) = f'(x) f(-x)- f(x) f'(-x) = f(x) f(-x)- f(x) f(-x) = 0g′(x)=f′(x)f(−x)−f(x)f′(−x)=f(x)f(−x)−f(x)f(−x)=0
.
On en déduit que 
ggg
est une fonction constante. 
Or, 
f(0)=1f(0) = 1f(0)=1
, donc 
g(0)=f(0)f(−0)=1g(0) = f(0) f(-0) = 1g(0)=f(0)f(−0)=1
.
Comme
ggg
est constante sur
R\mathbb RR
, on en déduit que, pour tout
xxx
réel,
g(x)=1g(x) = 1g(x)=1
.
Ainsi, pour tout
xxx
 réel, 
f(x)f(−x)=1f(x) f(-x) = 1f(x)f(−x)=1
, ce qui permet de conclure que la fonction 
fff
ne s'annule pas sur 
R\mathbb{R}R
.
2. Supposons qu'il existe une fonction\(\boldsymbol{\bar{f}}\) différente de\(\boldsymbol{f}\)telle que 
fˉ′=fˉ\bar{f}' = \bar{f}fˉ​′=fˉ​
 et 
fˉ(0)=1\bar{f}(0)=1fˉ​(0)=1
.
D'après le résultat précédent, 
fff
 et 
fˉ\bar{f}fˉ​
 ne s'annulent pas sur
R\mathbb{R}R
. On peut alors définir la fonction
hhh
de la façon suivante : pour tout 
xxx
réel,
h(x)=f(x)fˉ(x)h(x) = \dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)}h(x)=fˉ​(x)f(x)​
.
La fonction\(h\)est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 en tant que quotient, de dénominateur non nul sur
R\mathbb{R}R
, de fonctions dérivables et, pour tout 
xxx
 réel,
h′(x)=f′(x)fˉ(x)−f(x)fˉ′(x)(fˉ(x))2=f(x)fˉ(x)−f(x)fˉ(x)(fˉ(x))2=0h'(x) = \dfrac{f'(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}'(x)}{(\bar{f}(x))^2}= \dfrac{f(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}(x)}{(\bar{f}(x))^2} = 0h′(x)=(fˉ​(x))2f′(x)fˉ​(x)−f(x)fˉ​′(x)​=(fˉ​(x))2f(x)fˉ​(x)−f(x)fˉ​(x)​=0
. 
On en déduit que
hhh
 est constante sur
R\mathbb RR
. 
Or, 
f(0)=fˉ(0)=1f(0) = \bar{f}(0)= 1f(0)=fˉ​(0)=1
, donc 
h(0)=f(0)fˉ(0)=11=1h(0) = \dfrac{f(0)}{\bar{f}(0)}= \dfrac{1}{1} = 1h(0)=fˉ​(0)f(0)​=11​=1
, ce qui implique que
h(x)=1h(x) = 1h(x)=1
 pour tout
xxx
 réel et on peut écrire, pour tout 
xxx
dans 
R\mathbb RR
, 
f(x)fˉ(x)=1\dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)} = 1fˉ​(x)f(x)​=1
c'est-à-dire, 
f(x)=fˉ(x)f(x)=\bar{f}(x)f(x)=fˉ​(x)
.
Or, par définition de
fˉ\bar ffˉ​
, 
f(x)≠fˉ(x)f(x)\ne \bar{f}(x)f(x)=fˉ​(x)
pour tout
xxx
réel, on aboutit à une contradiction.
La fonction 
fff
 vérifiant 
f′=ff' = ff′=f
 et 
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
est unique et
f=expf=\text{exp}f=exp
est donc bien la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

ThéorèmeRelation fonctionnelle de l'exponentielle
Pour tous réels 
x
 et 
y
, on a 
exp(x)×exp(y)=exp(x+y)\text{exp}(x) \times \text{exp}(y) = \text{exp}(x+y)exp(x)×exp(y)=exp(x+y)
.
Démonstration
Soit 
yyy
un nombre réel et
ggg
la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
g(x)=exp(x+y)exp(x)g(x) = \dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)}g(x)=exp(x)exp(x+y)​
.
La fonction\(g\)est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 en tant que quotient de fonctions dérivables et dont le dénominateur ne s'annule pas sur 
R\mathbb RR
. Pour tout 
xxx
 réel,
g′(x)=(exp(x+y))′exp(x)−exp(x+y)(exp(x))′(exp(x))2=exp(x+y)exp(x)−exp(x)exp(x+y)(exp(x))2=0g'(x) = \dfrac{(\text{exp}(x+y))'\text{exp}(x) - \text{exp}(x+y)(\text{exp}(x))'}{(\text{exp}(x))^2}= \dfrac{\text{exp}(x+y)exp(x) - \text{exp}(x)\text{exp}(x+y)}{(\text{exp}(x))^2} = 0g′(x)=(exp(x))2(exp(x+y))′exp(x)−exp(x+y)(exp(x))′​=(exp(x))2exp(x+y)exp(x)−exp(x)exp(x+y)​=0
On en déduit que la fonction 
ggg
 est constante. 
Or, 
g(0)=exp(0+y)exp(0)=exp(y)1=exp(y)g(0) = \dfrac{\text{exp}(0 + y)}{\text{exp}(0)}= \dfrac{\text{exp}(y)}{1} = \text{exp}(y)g(0)=exp(0)exp(0+y)​=1exp(y)​=exp(y)
, donc
g(x)=exp(y)g(x) = \text{exp}(y)g(x)=exp(y)
 pour tout
xxx
 réel, ce qui implique que 
exp(x+y)exp(x)=exp(y)\dfrac{\text{exp}(x + y)}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(y)exp(x)exp(x+y)​=exp(y)
, donc que
exp(x+y)=exp(x)×exp(y)\text{exp}(x+y) = \text{exp}(x) \times \text{exp}(y)exp(x+y)=exp(x)×exp(y)
.
Conséquences
    • Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
1exp(x)=exp(−x)\dfrac{1}{\text{exp}(x)} = \text{exp}(-x)exp(x)1​=exp(−x)
.Idée de la preuve: on utilise la relation fonctionnelle avec
y=−xy=-xy=−x
et on se souvient que
exp(0)=1\text{exp}(0)=1exp(0)=1
.
    • Pour tout
x,yx,yx,y
dans
R\mathbb RR
,
exp(x)exp(y)=exp(x−y)\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x-y)exp(y)exp(x)​=exp(x−y)
.Idée de la preuve: on écrit, pour tout
x,yx,yx,y
dans
R\mathbb RR
exp(x)exp(y)=exp(x)×1exp(y)=exp(x)×exp(−y)\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)} = \text{exp}(x)\times \dfrac{1}{\text{exp}(y)}= \text{exp}(x)\times {\text{exp}(-y)}exp(y)exp(x)​=exp(x)×exp(y)1​=exp(x)×exp(−y)
puis on utilise la relation fonctionnelle.
    • Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
, pour tout 
nnn
entier naturel
(exp(x))n=exp(n×x)(\text{exp}(x))^n = \text{exp}(n \times x)(exp(x))n=exp(n×x)
.
Remarque
La dernière propriété s'éteint au cas où l'exposant est un réel : pour tout
aaa
réel,
(exp(x))a=exp(a×x)(\text{exp}(x))^a= \text{exp}(a \times x)(exp(x))a=exp(a×x)
. 

Nombre de Néper et notation

Notation
On note
e\text ee
l'image de
111
par la fonction exponentielle :
exp(1)=e\text{exp}(1)=\text eexp(1)=e
et on l'appelle nombre de Néper. On utilise de façon équivalente l'une ou l'autre des notations
exp(x)\text{exp}(x)exp(x)
et
ex\text e^xex
pour désigner l'image du réel
xxx
par la fonction exponentielle.
Pour tout réel
x
 et 
y
, pour tout entier naturel
n
, les propriétés algébriques de la fonction exponentielles s'écrivent aussi :
ex×ey=ex+y\text e^x \times \text e^y = \text e^{x+y}ex×ey=ex+y
1ey=e−y\dfrac{1}{\text e^y} = \text e^{-y}ey1​=e−y
exey=ex−y\dfrac{\text e^x}{\text e^y} = \text e^{x-y}eyex​=ex−y
(ex)n=en×x(\text e^{x})^n = \text e^{n \times x}(ex)n=en×x
Exemples
e3×e4=e3+4=e7\text e^3 \times \text e^4 = \text e^{3+4} =\text e^{7}e3×e4=e3+4=e7
    • \(\dfrac{1}{\text e^3} = \text e^{-3}\)
    • \(\dfrac{\text e^{15}}{\text e^4} = \text e^{15-4} = \text e^{11}\)
(e9)2=e9×2=e18(\text e^{9})^2 = \text e^{9 \times 2}= \text e^{18}(e9)2=e9×2=e18
Théorème (admis)
Le nombre
e\text ee
est irrationnel. Une valeur approchée de
e\text ee
à
10−210^{-2}10−2
près est
2,722,722,72
.