Signes et variations de la fonction exponentielle

Propriétés

1.La fonction exponentielle est strictement positive sur 

\mathbb{R}

. Pour tout

x

dans

\mathbb R

,

\text{exp}(x)>0

.
2.La fonction exponentielle est strictement croissantesur 

\mathbb{R}

.

Démonstration

1.Nous savons déjà que

\text{exp}

ne s'annule pas sur 

\mathbb R

.
Soit

x

un réel. D'après la relation fonctionnelle, on a

\text{exp}(x)=\text{exp}(\dfrac{x}{2})\times\text{exp}(\dfrac{x}{2})=\left(\text{exp}(\dfrac{x}{2})\right)^2

; on conclut que

\text{exp}

est strictement positive sur 

\mathbb{R}

.
2.Pour tout 

x

réel, 

\text{exp}'(x)=\text{exp}(x)

et

\exp(x)>0

. Alors, pour tout 

x

réel, 

\text{exp}'(x)>0

et

\text{exp}

est strictement croissante sur 

\mathbb R

.

 Tableau de variations de la fonction exponentielle

La figure suivante montre la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormal.

Conséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielle

Conséquences

La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de déduire les équivalences suivantes. Pour tout réel

x

et

y

, on a :

\text{exp}(x) = \text{exp}(y) \Leftrightarrow x= y

\text{exp}(x) < \text{exp}(y) \Leftrightarrow x < y

\text{exp}(x) > \text{exp}(y) \Leftrightarrow x > y

Ces équivalences permettent de résoudre des équations et des inéquations d'inconnue réelle

x

comprenant des fonctions exponentielles. 

Exemples

1.La solution de l'équation 

\text{exp}(x) =\text{exp}(7)

est

x = 7

, donc

S = \{7\}

.
2.Les solutions de l'inéquation 

\text{exp}(x) \geqslant \text{exp}(6)

 sont les réels 

x

 tels que 

x \geqslant 6

, donc 

S = [6 ; +\infty [

.
3.Les solutions de l'inéquation 

\text{exp}(x) < \text{exp}(-4)

 sont les réels 

x

 tels que 

x < -4

, donc 

S = ] - \infty ; -4[

.

Résolution d'équations - Exemples

On résout les équations suivantes sur

\mathbb{R}

.

1.

\text e^x = \text e^9

La solution de l'équation 

\text e^x = \text e^9

est

x = 9

.
L'ensemble des solutions est

S = \{9\}

.

2.

\text e^x - \text e = 0

On a

\text e^x - \text e^1 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^1\Leftrightarrow x = 1

.
L'ensemble des solutions est

S = \{1\}

.

3.

(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0

L'équation est une équation produit nul, donc 

(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0 \Leftrightarrow \text e ^x - \text e^{-2} = 0 \space \text o\text u \\ \space \text e^{12} - \text e^x = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^{-2} \space \text o\text u \space \text e^{12} = \text e^x \Leftrightarrow x=-2 \space \text o\text u \space 12=x

L'ensemble des solutions est

S = \{-2 ; 12\}

.

4.

(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0

On peut factoriser l'équation :

(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x -\text e^6 ) = 0 \\ \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space \text e^x - \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space x = 6

La fonction exponentielle n'étant jamais nulle, l'équation n'admet que 6 pour unique solution. L'ensemble des solutions est

S = \{6 \}

.

5 . 

\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}

On a

\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}\Leftrightarrow 8x + 2 = 4x - 2 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1

L'ensemble des solutions est 

S = \{-1 \}

.

6 . 

\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0

On a

\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0\Leftrightarrow \text e^{x^2} = \text e^{2x - 1}\Leftrightarrow x^2= 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1

L'ensemble des solutions est

S = \{1 \}

.

Résolutions d'inéquations - Exemples

On résout les inéquations suivantes sur

\mathbb{R}

.

1.

\text e^x < \text e^9

Les solutions de l'inéquation 

\text e^x <\text e^9

 sont les réels

x

 tels que 

x < 9

.
L'intervalle solution est

S = ] - \infty ; 9[

.

2.

\text e^x - \text e \geqslant 0

On a

\text e^x - \text e^1 \geqslant 0 \Leftrightarrow\text e^x \geqslant \text e^1 \Leftrightarrow x \geqslant 1

.
L'intervalle solution est

S = [1 ; +\infty [

.

3.

(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) \leqslant 0

On s'intéresse aux signes des deux facteurs : 

(\text e^x - \text e^{-2}) \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^x \geqslant \text e^{-2} \Leftrightarrow {x} \geqslant {-2}

\text e^{12}- \text e^x \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^{12} \geqslant \text e^x \Leftrightarrow {12} \geqslant {x}

Pour obtenir un produit négatif, il faut que les deux facteurs soient de signes contraires sur le même intervalle.
La solution est la réunion de deux intervalles

S = ] - \infty ; -2 ] \cup [ 12 ; + \infty [

.

4.

(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0

On peut factoriser l'inéquation :

(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x- \text e^6) > 0

.
La fonction exponentielle n'étant jamais négative, le signe de l'inéquation dépend du facteur entre parenthèses. Comme 

\text e^x- \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x> \text e^6 \Leftrightarrow x> 6

.
L'intervalle solution est

S = ] 6 ; +\infty [

.

5 . 

\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2}

On a 

\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2} \Leftrightarrow 8x + 2 \geqslant 4x - 2 \Leftrightarrow 4x \geqslant -4 \Leftrightarrow x \geqslant -1

L'intervalle solution est

S = [-1 ; + \infty [

.

6 . 

\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0

On a 

\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0 \Leftrightarrow \text e^{x^2} < \text e^{2x - 1} \Leftrightarrow x^2< 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 < 0

L'inéquation n'admet pas de solutions réelles, car le réel

(x-1)^2

 étant un carré, il est positif ou nul.