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Signes et variations de la fonction exponentielle

1.La fonction exponentielle est strictement positive sur 

Sommaire

Signes et variations de la fonction exponentielleConséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielleRésolution d'équations - ExemplesRésolutions d'inéquations - Exemples

Signes et variations de la fonction exponentielle

Propriétés
1.La fonction exponentielle est strictement positive sur 
R\mathbb{R}R
. Pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
exp(x)>0\text{exp}(x)>0exp(x)>0
.
2.La fonction exponentielle est strictement croissantesur 
R\mathbb{R}R
.
Démonstration
1.Nous savons déjà que
exp\text{exp}exp
ne s'annule pas sur 
R\mathbb RR
.
Soit
xxx
un réel. D'après la relation fonctionnelle, on a
exp(x)=exp(x2)×exp(x2)=(exp(x2))2\text{exp}(x)=\text{exp}(\dfrac{x}{2})\times\text{exp}(\dfrac{x}{2})=\left(\text{exp}(\dfrac{x}{2})\right)^2exp(x)=exp(2x​)×exp(2x​)=(exp(2x​))2
; on conclut que
exp\text{exp}exp
est strictement positive sur 
R\mathbb{R}R
.
2.Pour tout 
xxx
réel, 
exp′(x)=exp(x)\text{exp}'(x)=\text{exp}(x)exp′(x)=exp(x)
et 
exp⁡(x)>0\exp(x)>0exp(x)>0
. Alors, pour tout 
xxx
réel, 
exp′(x)>0\text{exp}'(x)>0exp′(x)>0
et 
exp\text{exp}exp
est strictement croissante sur 
R\mathbb RR
.
 Tableau de variations de la fonction exponentielle
La figure suivante montre la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormal.

Conséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielle

Conséquences
La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de déduire les équivalences suivantes. Pour tout réel
xxx
 et 
yyy
, on a :
exp(x)=exp(y)⇔x=y\text{exp}(x) = \text{exp}(y) \Leftrightarrow x= yexp(x)=exp(y)⇔x=y
exp(x)<exp(y)⇔x<y\text{exp}(x) < \text{exp}(y) \Leftrightarrow x < yexp(x)<exp(y)⇔x<y
exp(x)>exp(y)⇔x>y\text{exp}(x) > \text{exp}(y) \Leftrightarrow x > yexp(x)>exp(y)⇔x>y
Ces équivalences permettent de résoudre des équations et des inéquations d'inconnue réelle
xxx
comprenant des fonctions exponentielles. 
Exemples
1.La solution de l'équation 
exp(x)=exp(7)\text{exp}(x) =\text{exp}(7)exp(x)=exp(7)
 est 
x=7x = 7x=7
, donc
S={7}S = \{7\}S={7}
.
2.Les solutions de l'inéquation 
exp(x)⩾exp(6)\text{exp}(x) \geqslant \text{exp}(6)exp(x)⩾exp(6)
 sont les réels 
xxx
 tels que 
x⩾6x \geqslant 6x⩾6
, donc 
S=[6;+∞[S = [6 ; +\infty [S=[6;+∞[
.
3.Les solutions de l'inéquation 
exp(x)<exp(−4)\text{exp}(x) < \text{exp}(-4)exp(x)<exp(−4)
 sont les réels 
xxx
 tels que 
x<−4x < -4x<−4
, donc 
S=]−∞;−4[S = ] - \infty ; -4[S=]−∞;−4[
.

Résolution d'équations - Exemples

On résout les équations suivantes sur
R\mathbb{R}R
.
1. 
ex=e9\text e^x = \text e^9ex=e9
La solution de l'équation 
ex=e9\text e^x = \text e^9ex=e9
 est 
x=9x = 9x=9
.
L'ensemble des solutions est
S={9}S = \{9\}S={9}
.
2.
ex−e=0\text e^x - \text e = 0ex−e=0
On a
ex−e1=0⇔ex=e1⇔x=1\text e^x - \text e^1 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^1\Leftrightarrow x = 1ex−e1=0⇔ex=e1⇔x=1
.
L'ensemble des solutions est
S={1}S = \{1\}S={1}
. 
3. 
(ex−e−2)(e12−ex)=0(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0(ex−e−2)(e12−ex)=0
L'équation est une équation produit nul, donc 
(ex−e−2)(e12−ex)=0⇔ex−e−2=0 ou e12−ex=0⇔ex=e−2 ou e12=ex⇔x=−2 ou 12=x(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0 \Leftrightarrow \text e ^x - \text e^{-2} = 0 \space \text o\text u \\ \space \text e^{12} - \text e^x = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^{-2} \space \text o\text u \space \text e^{12} = \text e^x \Leftrightarrow x=-2 \space \text o\text u \space 12=x(ex−e−2)(e12−ex)=0⇔ex−e−2=0 ou e12−ex=0⇔ex=e−2 ou e12=ex⇔x=−2 ou 12=x
L'ensemble des solutions est
S={−2;12}S = \{-2 ; 12\}S={−2;12}
.
4. 
(ex)2−ex×e6=0(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0(ex)2−ex×e6=0
On peut factoriser l'équation :
(ex)2−ex×e6=0⇔ex(ex−e6)=0⇔ex=0 ou ex−e6=0⇔ex=0 ou x=6(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x -\text e^6 ) = 0 \\ \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space \text e^x - \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space x = 6(ex)2−ex×e6=0⇔ex(ex−e6)=0⇔ex=0 ou ex−e6=0⇔ex=0 ou x=6
La fonction exponentielle n'étant jamais nulle, l'équation n'admet que 6 pour unique solution. L'ensemble des solutions est
S={6}S = \{6 \}S={6}
.
5 . 
e8x+2=e4x−2\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}e8x+2=e4x−2
On a
e8x+2=e4x−2⇔8x+2=4x−2⇔4x=−4⇔x=−1\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}\Leftrightarrow 8x + 2 = 4x - 2 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1e8x+2=e4x−2⇔8x+2=4x−2⇔4x=−4⇔x=−1
L'ensemble des solutions est 
S={−1}S = \{-1 \}S={−1}
.
6 . 
ex2−e2x−1=0\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0ex2−e2x−1=0
On a
ex2−e2x−1=0⇔ex2=e2x−1⇔x2=2x−1⇔x2−2x+1=0⇔(x−1)2=0⇔x−1=0⇔x=1\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0\Leftrightarrow \text e^{x^2} = \text e^{2x - 1}\Leftrightarrow x^2= 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1ex2−e2x−1=0⇔ex2=e2x−1⇔x2=2x−1⇔x2−2x+1=0⇔(x−1)2=0⇔x−1=0⇔x=1
L'ensemble des solutions est
S={1}S = \{1 \}S={1}
.

Résolutions d'inéquations - Exemples

On résout les inéquations suivantes sur
R\mathbb{R}R
.
1. 
ex<e9\text e^x < \text e^9ex<e9
Les solutions de l'inéquation 
ex<e9\text e^x <\text e^9ex<e9
 sont les réels
xxx
 tels que 
x<9x < 9x<9
.
L'intervalle solution est
S=]−∞;9[S = ] - \infty ; 9[S=]−∞;9[
.
2.
ex−e⩾0\text e^x - \text e \geqslant 0ex−e⩾0
On a
ex−e1⩾0⇔ex⩾e1⇔x⩾1\text e^x - \text e^1 \geqslant 0 \Leftrightarrow\text e^x \geqslant \text e^1 \Leftrightarrow x \geqslant 1ex−e1⩾0⇔ex⩾e1⇔x⩾1
.
L'intervalle solution est
S=[1;+∞[S = [1 ; +\infty [S=[1;+∞[
. 
3. 
(ex−e−2)(e12−ex)⩽0(\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) \leqslant 0(ex−e−2)(e12−ex)⩽0
On s'intéresse aux signes des deux facteurs : 
(ex−e−2)⩾0⇔ex⩾e−2⇔x⩾−2(\text e^x - \text e^{-2}) \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^x \geqslant \text e^{-2} \Leftrightarrow {x} \geqslant {-2}(ex−e−2)⩾0⇔ex⩾e−2⇔x⩾−2
e12−ex⩾0⇔e12⩾ex⇔12⩾x\text e^{12}- \text e^x \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^{12} \geqslant \text e^x \Leftrightarrow {12} \geqslant {x}e12−ex⩾0⇔e12⩾ex⇔12⩾x
Pour obtenir un produit négatif, il faut que les deux facteurs soient de signes contraires sur le même intervalle.
La solution est la réunion de deux intervalles
S=]−∞;−2]∪[12;+∞[S = ] - \infty ; -2 ] \cup [ 12 ; + \infty [S=]−∞;−2]∪[12;+∞[
.
4. 
(ex)2−ex×e6>0(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0(ex)2−ex×e6>0
On peut factoriser l'inéquation :
(ex)2−ex×e6>0⇔ex(ex−e6)>0(\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x- \text e^6) > 0(ex)2−ex×e6>0⇔ex(ex−e6)>0
.
La fonction exponentielle n'étant jamais négative, le signe de l'inéquation dépend du facteur entre parenthèses. Comme 
ex−e6>0⇔ex>e6⇔x>6\text e^x- \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x> \text e^6 \Leftrightarrow x> 6ex−e6>0⇔ex>e6⇔x>6
.
L'intervalle solution est
S=]6;+∞[S = ] 6 ; +\infty [S=]6;+∞[
.
5 . 
e8x+2⩾e4x−2\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2}e8x+2⩾e4x−2
On a 
e8x+2⩾e4x−2⇔8x+2⩾4x−2⇔4x⩾−4⇔x⩾−1\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2} \Leftrightarrow 8x + 2 \geqslant 4x - 2 \Leftrightarrow 4x \geqslant -4 \Leftrightarrow x \geqslant -1e8x+2⩾e4x−2⇔8x+2⩾4x−2⇔4x⩾−4⇔x⩾−1
L'intervalle solution est
S=[−1;+∞[S = [-1 ; + \infty [S=[−1;+∞[
.
6 . 
ex2−e2x−1<0\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0ex2−e2x−1<0
On a 
ex2−e2x−1<0⇔ex2<e2x−1⇔x2<2x−1⇔x2−2x+1<0⇔(x−1)2<0\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0 \Leftrightarrow \text e^{x^2} < \text e^{2x - 1} \Leftrightarrow x^2< 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 < 0ex2−e2x−1<0⇔ex2<e2x−1⇔x2<2x−1⇔x2−2x+1<0⇔(x−1)2<0
L'inéquation n'admet pas de solutions réelles, car le réel
(x−1)2(x-1)^2(x−1)2
 étant un carré, il est positif ou nul.