Cosinus et sinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\). 

Définition

Soit

x

 un nombre réel et soit 

\text{M}

le point image de 

x

par enroulement de la droite

(d)

tangente au cercle trigonométrique au point

\text I

sur le cercle trigonométrique.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On appellecosinus de `x`, noté

\cos⁡(x)

, l’abscisse du point 

\text{M}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On appellesinus de `x`,noté

\sin(x)

, l’ordonnée du point 

\text{M}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le point

\text{M}

 a pour coordonnées 

\text{M}(\cos(x);\sin(x))

.

Exemples

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'image du réel 

0

est le point

\text{I}(1 ; 0)

, donc 

\cos(0)=1

et

\sin(0)=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'image du réel 

\pi

est le point

\text{I'}(-1 ; 0)

, donc 

\cos(\pi)=-1

et

\sin(\pi)=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'image du réel 

\dfrac{\pi}{2}

 est le point

\text{J}(0 ;1)

, donc 

\cos(\dfrac{\pi}{2})=0

et

\sin(\dfrac{\pi}{2})=1

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'image du réel 

-\dfrac{\pi}{2}

est le point

\text{J'}(0 ;-1)

, donc 

\cos(-\dfrac{\pi}{2})=0

et

\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-1

.

Propriétés

Pour tout réel 

x

:

-1\leqslant\cos(x)\leqslant1

et

-1\leqslant\sin(x)\leqslant1

.

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

.

Démonstration

Soit

x

 un nombre réel et soit 

\text{M}

le point image de 

x

sur le cercle trigonométrique.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le cercle trigonométrique est le lieu des points du plan à distance

1

de

\text O

. Si

\text M(x_\text M;y_\text M)

est un point du cercle, on a 

\text {OM}=1

soit 

\sqrt{x_\text M^2+y_\text M^2}=1

. Cela équivaut à 

x_\text M^2+y_\text M^2=1

et

x_\text M^2=1-y_\text M^2\leqslant 1

. On en déduit 

-1\leqslant x_\text M \leqslant 1

puis 

-1\leqslant y_\text M \leqslant 1

. Par définition, 

\cos(x)

 correspond à l'abscisse du point 

\text M

et

\sin(x)

correspond à l'ordonné de 

\text M

. Cela permet de conclure.

\text M(\cos(x);\sin(x))

étant un point du cercle trigonométrique, la condition

\text {OM}=1

donne immédiatement

\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=1

d'où le résultat.

Exemple

Sachant que 

x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]

 et que 

\cos(x)=0,4

, on peut déterminer 

\sin(x)

. En effet, comme 

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

, on a 

(0,4)^2+\sin^2(x)=1

 soit 

\sin^2(x)=1-0,16=0,84

. 
Or 

x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]

 donc 

\sin(x)>0

. On en déduit que 

\sin(x)=\sqrt{0,84}\approx0,94

.

Propriété 

On a les valeurs suivantes :

Démonstration

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La définition du cosinus et du sinus d'un réel fournit les résultats 

\cos(0)=1

et

\sin(0)=0

;

\cos(\dfrac{\pi}{2})=0

et

\sin(\dfrac{\pi}{2})=1

et

\cos(\pi)=-1

et

\sin(\pi)=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text M

l'image du réel

\dfrac π 4

par enroulement de la droite tangente au cercle au point

\text I

, soit

\text{H}

le projeté orthogonal de

\text{M}

sur

\text{(OI)}

. Le triangle

\text{OMH}

est rectangle en

\text{H}

et isocèle.On en déduit que

\text{OH}=\text{HM}

 d'où

\cos(\dfrac{π}{4})=\sin(\dfrac{π}{4})

. Or

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

équivaut à

\cos^2(\dfrac{π}{4})+\cos^2(\dfrac{π}{4})=1

c'est-à-dire

2\cos^2(\dfrac{π}{4})=1

soit

\cos^2(\dfrac{π}{4})=\dfrac1 2

.

\text{OH}=\cos(\dfrac{\pi} 4)

implique que

\cos(\dfrac\pi4)

est positif et on en déduit

\cos(\dfrac{π}{4})=\dfrac{\sqrt{2}} 2

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text M

l'image du réel

\dfrac π 3

par enroulement de la droite tangente au cercle au point

\text I

,soit

\text{H}

le projeté orthogonal de

\text{M}

sur

\text{(OI)}

. Le triangle

\text{OMI}

est un triangle équilatéral.On en déduit directement que

\text{OH}=\text{HI}=\dfrac 1 2 \text{OI}= \dfrac{1}{2}

, donc

\cos(\dfrac{π}{3})=\dfrac{1}{2}

. On a donc :

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}+\sin^2(\dfrac{π}{3})=1

\Leftrightarrow \sin^2(\dfrac{π}{3})=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \sin(\dfrac{π}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text M

l'image du réel

\dfrac π 6

par enroulement de la droite tangente au cercle au point

\text I

,soit

\text{H}

le projeté orthogonal de

\text{M}

sur

\text{(OI)}

. Dans ce cas, le triangle

\text{OMJ}

est un triangle équilatéral.On en déduit directement que 

\text{HM}=\sin(\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2}\text{OJ}=\dfrac{1}{2}

. On a donc :

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\Leftrightarrow \cos^2(\dfrac{π}{6})+\dfrac{1}{4}=1

\Leftrightarrow \cos^2(\dfrac{π}{6})=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \cos(\dfrac{π}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

Propriété

Pour tout nombre réel 

x

, pour tout entier relatif 

k

on a :

\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

et

\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

\text{cos}(-x)=\text{cos}(x)

et

\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)

Démonstration

On considère les points

\text{M}

et

\text{M'}

images respectivement de

x

et de 

-x

par l'enroulement de la tangente au cercle trigonométrique en

\text I

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout entier relatif

k

,

\text{M}

est aussi l'image du réel

y=x+2k\pi

car

y-x

est un multiple de 

2\pi

.

\text{cos}(x)

et

\text{sin}(x)

étant les coordonnées de

\text{M}

, on en déduit immédiatement :

\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

et

\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Les points

\text{M}

et

\text{M}'

 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. En effet, par enroulement, 

\stackrel\frown{\text{IM}}=\stackrel\frown{\text{IM'}}

puis

\text{IM}=\text{IM'}

ce qui permet d'affirmer que le triangle

\text{MIM'}

est isocèle et

\text I

, par conséquent, 

\text I

est sur la médiatrice de

[\text{MM'}]

. De plus, 

\text{OM}=\text{OM'}

par définition du cercle trigonométrique, ainsi 

\text{O}

est sur la médiatrice de

[\text{MM'}]

qui est, donc, la droite 

(\text{OI})

soit l'axe des abscisses. On en déduit que les abscisses de

\text{M}

et

\text{M}'

 sont identiques et que leurs ordonnées sont opposées. Ainsi, pour tout réel 

x

,

\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)

.

 Exemples

\cos(\dfrac{7π}{3}) = \cos(\dfrac{π}{3}+2π) = \cos(\dfrac{π}{3}) =\dfrac{1}{2}

\cos(-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\sin(\dfrac{-33π}{4}) = \sin(-\dfrac{π}{4}-8π) =\sin(-\dfrac{π}{4}) =-\sin(\dfrac{π}{4})= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Propriétés

Pour tout nombre réel 

x

, on a : 

Démonstrations

On considère le point 

\text{M}

 image d'un réel 

x

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text{M'}

l'image de

-x

: les points 

\text{M}

et

\text{M}'

 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Leurs abscisses sont identiques et leurs ordonnées sont opposées. Pour tout réel 

x

,

\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text{M'}

l'image de

\pi-x

 : les points

\text{M}

et

\text{M}'

 sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Leurs ordonnées sont identiques et leurs abscisses sont opposées. Pour tout réel 

x

,

\cos⁡(\pi-x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi-x)=\sin⁡(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text{M'}

l'image de

\pi+x

 : les points

\text{M}

et

\text{M}'

 sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Leurs abscisses et leurs ordonnées sont opposées entre elles. Pour tout réel 

x

,

\cos⁡(\pi+x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi+x)=-\sin⁡(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text{M'}

l'image de

\dfrac{\pi}{2}-x

 : les points 

\text{M}

et

\text{M}'

 sont symétriques par rapport à la droite d'équation

y=x

. Leurs abscisses et leurs ordonnées sont échangées. Pour tout réel 

x

,

\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin(x) \text{ et } \sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos⁡(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text{M'}

l'image de

\dfrac{\pi}{2}+x

 : pour tout réel 

x

,

\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\cos⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=-\sin(x)

et

\sin⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\sin⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos(x)

.