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Cosinus et sinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\). 

Sommaire

Cosinus et sinus d'un nombre réelValeurs remarquables du sinus et du cosinusPropriétés du cosinus et du sinusAngles associés

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\). 
Définition
Soit
x
 un nombre réel et soit 
\text{M}
le point image de 
x
par enroulement de la droite
(d)
tangente au cercle trigonométrique au point
I\text II
sur le cercle trigonométrique.
    • On appellecosinus de `x`, noté
cos⁡⁡(x)\cos⁡(x)cos⁡(x)
, l’abscisse du point 
\text{M}
.
    • On appellesinus de `x`,noté
sin⁡(x)\sin(x)sin(x)
, l’ordonnée du point 
\text{M}
.
    • Le point
\text{M}
 a pour coordonnées 
M(cos⁡(x);sin⁡(x))\text{M}(\cos(x);\sin(x))M(cos(x);sin(x))
.
Exemples
    • L'image du réel 
000
est le point
I(1;0)\text{I}(1 ; 0)I(1;0)
, donc 
cos⁡(0)=1\cos(0)=1cos(0)=1
 et 
sin⁡(0)=0\sin(0)=0sin(0)=0
.
    • L'image du réel 
π\piπ
est le point
I’(−1;0)\text{I'}(-1 ; 0)I’(−1;0)
, donc 
cos⁡(π)=−1\cos(\pi)=-1cos(π)=−1
 et 
sin⁡(π)=0\sin(\pi)=0sin(π)=0
. 
    • L'image du réel 
π2\dfrac{\pi}{2}2π​
 est le point
J(0;1)\text{J}(0 ;1)J(0;1)
, donc 
cos⁡(π2)=0\cos(\dfrac{\pi}{2})=0cos(2π​)=0
 et 
sin⁡(π2)=1\sin(\dfrac{\pi}{2})=1sin(2π​)=1
.
    • L'image du réel 
−π2-\dfrac{\pi}{2}−2π​
est le point
J’(0;−1)\text{J'}(0 ;-1)J’(0;−1)
, donc 
cos⁡(−π2)=0\cos(-\dfrac{\pi}{2})=0cos(−2π​)=0
 et 
sin⁡(−π2)=−1\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-1sin(−2π​)=−1
. 
Propriétés
Pour tout réel 
xxx
:
−1⩽cos⁡(x)⩽1-1\leqslant\cos(x)\leqslant1−1⩽cos(x)⩽1
 et 
−1⩽sin⁡(x)⩽1-1\leqslant\sin(x)\leqslant1−1⩽sin(x)⩽1
.
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1cos2(x)+sin2(x)=1
.
Démonstration
Soit
x
 un nombre réel et soit 
\text{M}
le point image de 
x
sur le cercle trigonométrique.
    • Le cercle trigonométrique est le lieu des points du plan à distance
111
de
O\text OO
. Si
M(xM;yM)\text M(x_\text M;y_\text M)M(xM​;yM​)
est un point du cercle, on a 
OM=1\text {OM}=1OM=1
soit 
xM2+yM2=1\sqrt{x_\text M^2+y_\text M^2}=1xM2​+yM2​​=1
. Cela équivaut à 
xM2+yM2=1x_\text M^2+y_\text M^2=1xM2​+yM2​=1
et 
xM2=1−yM2⩽1x_\text M^2=1-y_\text M^2\leqslant 1xM2​=1−yM2​⩽1
. On en déduit 
−1⩽xM⩽1-1\leqslant x_\text M \leqslant 1−1⩽xM​⩽1
puis 
−1⩽yM⩽1-1\leqslant y_\text M \leqslant 1−1⩽yM​⩽1
. Par définition, 
cos⁡(x)\cos(x)cos(x)
 correspond à l'abscisse du point 
M\text MM
et
sin⁡(x)\sin(x)sin(x)
correspond à l'ordonné de 
M\text MM
. Cela permet de conclure.
M(cos⁡(x);sin⁡(x))\text M(\cos(x);\sin(x))M(cos(x);sin(x))
étant un point du cercle trigonométrique, la condition
OM=1\text {OM}=1OM=1
donne immédiatement
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=1cos2(x)+sin2(x)​=1
d'où le résultat.
Exemple
Sachant que 
x∈[0;π2]x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]x∈[0;2π​]
 et que 
cos⁡(x)=0,4\cos(x)=0,4cos(x)=0,4
, on peut déterminer 
sin⁡(x)\sin(x)sin(x)
. En effet, comme 
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1cos2(x)+sin2(x)=1
, on a 
(0,4)2+sin⁡2(x)=1(0,4)^2+\sin^2(x)=1(0,4)2+sin2(x)=1
 soit 
sin⁡2(x)=1−0,16=0,84\sin^2(x)=1-0,16=0,84sin2(x)=1−0,16=0,84
. 
Or 
x∈[0;π2]x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]x∈[0;2π​]
 donc 
sin⁡(x)>0\sin(x)>0sin(x)>0
. On en déduit que 
sin⁡(x)=0,84≈0,94\sin(x)=\sqrt{0,84}\approx0,94sin(x)=0,84​≈0,94
. 

Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Propriété 
On a les valeurs suivantes :
Démonstration
    • La définition du cosinus et du sinus d'un réel fournit les résultats 
cos⁡(0)=1\cos(0)=1cos(0)=1
et 
sin⁡(0)=0\sin(0)=0sin(0)=0
 ;  
cos⁡(π2)=0\cos(\dfrac{\pi}{2})=0cos(2π​)=0
 et 
sin⁡(π2)=1\sin(\dfrac{\pi}{2})=1sin(2π​)=1
 et 
cos⁡(π)=−1\cos(\pi)=-1cos(π)=−1
 et 
sin⁡(π)=0\sin(\pi)=0sin(π)=0
. 
    • Soit
M\text MM
l'image du réel
π4\dfrac π 44π​
par enroulement de la droite tangente au cercle au point
I\text II
, soit
\text{H}
le projeté orthogonal de
\text{M}
sur
\text{(OI)}
. Le triangle
OMH\text{OMH}OMH
est rectangle en
H\text{H}H
et isocèle.On en déduit que
OH=HM\text{OH}=\text{HM}OH=HM
 d'où
cos⁡(π4)=sin⁡(π4)\cos(\dfrac{π}{4})=\sin(\dfrac{π}{4})cos(4π​)=sin(4π​)
. Or
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1cos2(x)+sin2(x)=1
équivaut à
cos⁡2(π4)+cos⁡2(π4)=1\cos^2(\dfrac{π}{4})+\cos^2(\dfrac{π}{4})=1cos2(4π​)+cos2(4π​)=1
c'est-à-dire
2cos⁡2(π4)=12\cos^2(\dfrac{π}{4})=12cos2(4π​)=1
soit
cos⁡2(π4)=12\cos^2(\dfrac{π}{4})=\dfrac1 2cos2(4π​)=21​
.
OH=cos⁡(π4)\text{OH}=\cos(\dfrac{\pi} 4)OH=cos(4π​)
implique que
cos⁡(π4)\cos(\dfrac\pi4)cos(4π​)
est positif et on en déduit
cos⁡(π4)=22\cos(\dfrac{π}{4})=\dfrac{\sqrt{2}} 2cos(4π​)=22​​
.
    • Soit
M\text MM
l'image du réel
π3\dfrac π 33π​
par enroulement de la droite tangente au cercle au point
I\text II
,soit
\text{H}
le projeté orthogonal de
\text{M}
sur
\text{(OI)}
. Le triangle
OMI\text{OMI}OMI
est un triangle équilatéral.On en déduit directement que
OH=HI=12OI=12\text{OH}=\text{HI}=\dfrac 1 2 \text{OI}= \dfrac{1}{2}OH=HI=21​OI=21​
, donc
cos⁡(π3)=12\cos(\dfrac{π}{3})=\dfrac{1}{2}cos(3π​)=21​
. On a donc :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1⇔14+sin⁡2(π3)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}+\sin^2(\dfrac{π}{3})=1cos2(x)+sin2(x)=1⇔41​+sin2(3π​)=1
⇔sin⁡2(π3)=34⇔sin⁡(π3)=32\Leftrightarrow \sin^2(\dfrac{π}{3})=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \sin(\dfrac{π}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}⇔sin2(3π​)=43​⇔sin(3π​)=23​​
. 
    • Soit
M\text MM
l'image du réel
π6\dfrac π 66π​
par enroulement de la droite tangente au cercle au point
I\text II
,soit
\text{H}
le projeté orthogonal de
\text{M}
sur
\text{(OI)}
. Dans ce cas, le triangle
OMJ\text{OMJ}OMJ
est un triangle équilatéral.On en déduit directement que 
HM=sin⁡(π6)=12OJ=12\text{HM}=\sin(\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2}\text{OJ}=\dfrac{1}{2}HM=sin(6π​)=21​OJ=21​
. On a donc :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1⇔cos⁡2(π6)+14=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\Leftrightarrow \cos^2(\dfrac{π}{6})+\dfrac{1}{4}=1cos2(x)+sin2(x)=1⇔cos2(6π​)+41​=1
⇔cos⁡2(π6)=34⇔cos⁡(π6)=32\Leftrightarrow \cos^2(\dfrac{π}{6})=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \cos(\dfrac{π}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}⇔cos2(6π​)=43​⇔cos(6π​)=23​​
. 

Propriétés du cosinus et du sinus

Propriété
Pour tout nombre réel 
xxx
, pour tout entier relatif 
kkk
on a :
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡(x)\cos(x+2k\pi)=\cos(x)cos(x+2kπ)=cos(x)
 et 
sin⁡(x+2kπ)=sin⁡(x)\sin(x+2k\pi)=\sin(x)sin(x+2kπ)=sin(x)
cos(−x)=cos(x)\text{cos}(-x)=\text{cos}(x)cos(−x)=cos(x)
et
sin(−x)=−sin(x)\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)sin(−x)=−sin(x)
Démonstration
On considère les points
M\text{M}M
et
M’\text{M'}M’
images respectivement de
xxx
et de 
−x-x−x
par l'enroulement de la tangente au cercle trigonométrique en
I\text II
.
    • Pour tout entier relatif
kkk
,
M\text{M}M
est aussi l'image du réel
y=x+2kπy=x+2k\piy=x+2kπ
car 
y−xy-xy−x
est un multiple de 
2π2\pi2π
.
cos(x)\text{cos}(x)cos(x)
 et
sin(x)\text{sin}(x)sin(x)
étant les coordonnées de
M\text{M}M
, on en déduit immédiatement :
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡(x)\cos(x+2k\pi)=\cos(x)cos(x+2kπ)=cos(x)
 et 
sin⁡(x+2kπ)=sin⁡(x)\sin(x+2k\pi)=\sin(x)sin(x+2kπ)=sin(x)
.
    • Les points
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. En effet, par enroulement, 
IM⌢=IM’⌢\stackrel\frown{\text{IM}}=\stackrel\frown{\text{IM'}}IM⌢=IM’⌢
puis
IM=IM’\text{IM}=\text{IM'}IM=IM’
ce qui permet d'affirmer que le triangle
MIM’\text{MIM'}MIM’
est isocèle et
I\text II
, par conséquent, 
I\text II
est sur la médiatrice de
[MM’][\text{MM'}][MM’]
. De plus, 
OM=OM’\text{OM}=\text{OM'}OM=OM’
par définition du cercle trigonométrique, ainsi 
O\text{O}O
est sur la médiatrice de
[MM’][\text{MM'}][MM’]
qui est, donc, la droite 
(OI)(\text{OI})(OI)
soit l'axe des abscisses. On en déduit que les abscisses de
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont identiques et que leurs ordonnées sont opposées. Ainsi, pour tout réel 
xxx
, 
cos⁡⁡(−x)=cos⁡(x) et sin⁡(−x)=−sin⁡⁡(x)\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)cos⁡(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin⁡(x)
.
 Exemples
cos⁡(7π3)=cos⁡(π3+2π)=cos⁡(π3)=12\cos(\dfrac{7π}{3}) = \cos(\dfrac{π}{3}+2π) = \cos(\dfrac{π}{3}) =\dfrac{1}{2}cos(37π​)=cos(3π​+2π)=cos(3π​)=21​
cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(−6π​)=cos(6π​)=23​​
sin⁡(−33π4)=sin⁡(−π4−8π)=sin⁡(−π4)=−sin⁡(π4)=−22\sin(\dfrac{-33π}{4}) = \sin(-\dfrac{π}{4}-8π) =\sin(-\dfrac{π}{4}) =-\sin(\dfrac{π}{4})= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(4−33π​)=sin(−4π​−8π)=sin(−4π​)=−sin(4π​)=−22​​

Angles associés

Propriétés
Pour tout nombre réel 
xxx
, on a : 
Démonstrations
On considère le point 
M\text{M}M
 image d'un réel 
xxx
.
    • Soit
M’\text{M'}M’
l'image de
−x-x−x
: les points 
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Leurs abscisses sont identiques et leurs ordonnées sont opposées. Pour tout réel 
xxx
, 
cos⁡⁡(−x)=cos⁡(x) et sin⁡(−x)=−sin⁡⁡(x)\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)cos⁡(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin⁡(x)
.
    • Soit
M’\text{M'}M’
l'image de
π−x\pi-xπ−x
 : les points
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Leurs ordonnées sont identiques et leurs abscisses sont opposées. Pour tout réel 
xxx
, 
cos⁡⁡(π−x)=−cos⁡(x) et sin⁡(π−x)=sin⁡⁡(x)\cos⁡(\pi-x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi-x)=\sin⁡(x)cos⁡(π−x)=−cos(x) et sin(π−x)=sin⁡(x)
. 
    • Soit
M’\text{M'}M’
l'image de
π+x\pi+xπ+x
 : les points
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Leurs abscisses et leurs ordonnées sont opposées entre elles. Pour tout réel 
xxx
, 
cos⁡⁡(π+x)=−cos⁡(x) et sin⁡(π+x)=−sin⁡⁡(x)\cos⁡(\pi+x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi+x)=-\sin⁡(x)cos⁡(π+x)=−cos(x) et sin(π+x)=−sin⁡(x)
. 
    • Soit
M’\text{M'}M’
l'image de
π2−x\dfrac{\pi}{2}-x2π​−x
 : les points 
M\text{M}M
 et 
M′\text{M}'M′
 sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=xy=xy=x
. Leurs abscisses et leurs ordonnées sont échangées. Pour tout réel 
xxx
, 
cos⁡⁡(π2−x)=sin⁡(x) et sin⁡(π2−x)=cos⁡⁡(x)\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin(x) \text{ et } \sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos⁡(x)cos⁡(2π​−x)=sin(x) et sin(2π​−x)=cos⁡(x)
. 
    • Soit
M’\text{M'}M’
l'image de
π2+x\dfrac{\pi}{2}+x2π​+x
 : pour tout réel 
xxx
,  
cos⁡⁡(π2+x)=cos⁡⁡(π−(π2−x))=−cos⁡(π2−x)=−sin⁡(x)\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\cos⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=-\sin(x)cos⁡(2π​+x)=cos⁡(π−(2π​−x))=−cos(2π​−x)=−sin(x)
 et 
sin⁡⁡(π2+x)=sin⁡⁡(π−(π2−x))=sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\sin⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos(x)sin⁡(2π​+x)=sin⁡(π−(2π​−x))=sin(2π​−x)=cos(x)
.