Fonctions sinus et cosinus

Définition

Soit

f

 une fonction définie sur un intervalle 

\text{I}

de

\mathbb R

et

T

un réel.
La fonction 

f

estpériodique de période \(T\)(ou

T

-périodique) sur

\text I

si et seulement si, pour tout 

x\in\text{I}

,

x+T\in \text I

et

f(x+T)=f(x)

.

Les figures suivantes montrent deux exemples de courbe représentative de fonctions périodiques. 

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La courbe représentative d'une fonction périodique possède une propriété d'invariance par translation. Soit

k

un entier relatif et

\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})

et

\text{B}(x_\text{B};y_\text{B})

deux points de la courbe représentative d'une fonction périodique de période 

T

tels que 

x_\text{B}-x_\text{A}=kT

. D'après la définition de fonction périodique,

y_\text{A}=y_\text{B}

. La portion de courbe représentative comprise entre

\text A

et

\text B

est superposable à toute autre portion de la courbe comprise entre deux points

\text A'

et

\text B'

tels que

x_\text{A'}=x_\text{A}+mT

, où

m

est un entier relatif, et

x_\text{B'}-x_\text{A'}=kT

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsqu'on étudie une fonction périodique de période

T

sur son ensemble de définition 

\text I

, il suffit de l'étudier sur un intervalle

\text J

contenu dans

\text I

et d'amplitude

T

puis d'utiliser la propriété de périodicité pour étendre l'étude à tout

\text I

.

Parité d'une fonction

Définition

Soit

\text I

une partie de

\mathbb R

.
On dit que

\text I

est symétrique par rapport à 

0

si et seulement si, pour tout

x

dans

\text I

,

-x

est aussi dans

\text I

.

Remarque

Soit 

a

et

b

deux réels positifs avec

a>b

. Les parties de 

\mathbb R

suivantes sont des parties symétriques par rapport à

0

:

\text I=\mathbb R

,

\text{I}=[-a;a]

,

\text{I}=]-a;a[

,

\text{I}=[-a;-b] \cup [b;a]

,

\text{I}=]-a;-b[\cup]b;a[

,

\text{I}=]-a;-b]\cup[b;a[

,

\text{I}=[-a;-b[\cup]b;a]

.

Définition

Soit

f

 une fonction définie sur

\text I

, symétrique par rapport à

0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

f

 estpaire sur

\text{I}

si, pour tout 

x\in\text{I}

,

f(-x)=f(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

f

 estimpaire sur

\text{I}

si, pour tout 

x\in\text{I}

,

f(-x)=-f(x)

.

Exemples

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction carré est paire. En effet, pour tout 

x

dans 

\mathbb R

,

f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction cube est impaire. En effet, pour tout

x

dans

\mathbb R

,

f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)

.

Remarques

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemples

Les figures suivantes montrent les courbes représentatives des fonctions carrée et cube dans un repère orthonormé.

Fonctions cosinus et sinus

Définitions

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonctioncosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel

x

associe

\text{cos}(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonctionsinus, notée, sin, est la fonctionqui à tout réel

x

associe

\text{sin}(x)

.

Propriété

Les fonctions 

\text{cos}

et

\text{sin}

 sont périodiques sur 

\mathbb{R}

, de période

2\pi

.

Démonstration

D'après les propriétés du cosinus et du sinus, pour tout

x\in\mathbb{R}

,

\cos(x+2\pi)=\cos(x)

et

\sin(x+2\pi)=\sin(x)

.

Propriétés 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

\text{cos}

 est paire sur 

\mathbb{R}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

\text{sin}

est impaire sur 

\mathbb{R}

.

Démonstration

D'après les propriétés du cosinus et du sinus, pour tout réel 

x\in\mathbb{R}

,

\cos(-x)=\cos(x)

et

\sin(-x)=-\sin(x)

.

Courbes et variations des fonctions sinus et cosinus

Dans un repère orthogonal, on représente les points

\text M

de coordonnées

(\text{cos}(x); \text{sin}(x))

.

En cliquant sur le bouton

\triangleright

dans le fichier de géométrie dynamique, on observe la construction de la courbe représentative des fonctions

\color{green} {\text{cos}}

et

\color{red} {\text{sin}}

sur une période.

Les figures suivantes montrent les allures des courbes représentatives des fonctions 

\color{green} {\text{cos}}

et

\color{red} {\text{sin}}

sur

\mathbb R

. Elle se construisent par translation des courbes construites sur une période grâce à la propriété de périodicité des fonctions

{\text{cos}}

et

{\text{sin}}

.

Propriété  Variations des fonctions  \({\text{cos}}\)et  \({\text{sin}}\).

La construction des courbes représentatives des fonctions

{\text{cos}}

et

{\text{sin}}

permet d'établir les tableaux de variations suivants.

Fonction périodique

Parité d'une fonction

Fonctions cosinus et sinus

Courbes et variations des fonctions sinus et cosinus