Revenir
Revenir

Fonctions sinus et cosinus

 une fonction définie sur un intervalle 

Sommaire

Fonction périodiqueParité d'une fonctionFonctions cosinus et sinusCourbes et variations des fonctions sinus et cosinus

Fonction périodique

Définition
Soit
fff
 une fonction définie sur un intervalle 
I\text{I}I
de
R\mathbb RR
et
TTT
un réel.
La fonction 
fff
estpériodique de période \(T\)(ou
TTT
-périodique) sur
I\text II
si et seulement si, pour tout 
x∈Ix\in\text{I}x∈I
, 
x+T∈Ix+T\in \text Ix+T∈I
et
f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)
.
Les figures suivantes montrent deux exemples de courbe représentative de fonctions périodiques. 
Remarques
    • La courbe représentative d'une fonction périodique possède une propriété d'invariance par translation. Soit
kkk
un entier relatif et
A(xA;yA)\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})A(xA​;yA​)
et
B(xB;yB)\text{B}(x_\text{B};y_\text{B})B(xB​;yB​)
deux points de la courbe représentative d'une fonction périodique de période 
TTT
tels que 
xB−xA=kTx_\text{B}-x_\text{A}=kTxB​−xA​=kT
. D'après la définition de fonction périodique,
yA=yBy_\text{A}=y_\text{B}yA​=yB​
. La portion de courbe représentative comprise entre
A\text AA
et
B\text BB
est superposable à toute autre portion de la courbe comprise entre deux points
A′\text A'A′
et
B′\text B'B′
tels que
xA’=xA+mTx_\text{A'}=x_\text{A}+mTxA’​=xA​+mT
, où
mmm
est un entier relatif, et
xB’−xA’=kTx_\text{B'}-x_\text{A'}=kTxB’​−xA’​=kT
.
    • Lorsqu'on étudie une fonction périodique de période
TTT
sur son ensemble de définition 
I\text II
, il suffit de l'étudier sur un intervalle
J\text JJ
contenu dans
I\text II
et d'amplitude
TTT
puis d'utiliser la propriété de périodicité pour étendre l'étude à tout
I\text II
.

Parité d'une fonction

Définition
Soit
I\text II
une partie de
R\mathbb RR
.
On dit que
I\text II
est symétrique par rapport à 
000
si et seulement si, pour tout
xxx
dans
I\text II
,
−x-x−x
est aussi dans
I\text II
.
Remarque
Soit 
aaa
et
bbb
deux réels positifs avec
a>ba>ba>b
. Les parties de 
R\mathbb RR
suivantes sont des parties symétriques par rapport à
000
:
I=R\text I=\mathbb RI=R
,
I=[−a;a]\text{I}=[-a;a]I=[−a;a]
,
I=]−a;a[\text{I}=]-a;a[I=]−a;a[
,
I=[−a;−b]∪[b;a]\text{I}=[-a;-b] \cup [b;a]I=[−a;−b]∪[b;a]
,
I=]−a;−b[∪]b;a[\text{I}=]-a;-b[\cup]b;a[I=]−a;−b[∪]b;a[
,
I=]−a;−b]∪[b;a[\text{I}=]-a;-b]\cup[b;a[I=]−a;−b]∪[b;a[
,
I=[−a;−b[∪]b;a]\text{I}=[-a;-b[\cup]b;a]I=[−a;−b[∪]b;a]
.
Définition
Soit
fff
 une fonction définie sur
I\text II
, symétrique par rapport à
000
.
    • La fonction
fff
 estpaire sur
I\text{I}I
si, pour tout 
x∈Ix\in\text{I}x∈I
, 
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)
. 
    • La fonction
fff
 estimpaire sur
I\text{I}I
si, pour tout 
x∈Ix\in\text{I}x∈I
, 
f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)
. 
Exemples
    • La fonction carré est paire. En effet, pour tout 
xxx
dans 
R\mathbb RR
, 
f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)f(−x)=(−x)2=x2=f(x)
.
    • La fonction cube est impaire. En effet, pour tout
xxx
dans
R\mathbb RR
,
f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)
.
Remarques
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  • La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Exemples
Les figures suivantes montrent les courbes représentatives des fonctions carrée et cube dans un repère orthonormé.

Fonctions cosinus et sinus

Définitions
    • La fonctioncosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel
xxx
associe
cos(x)\text{cos}(x)cos(x)
.
    • La fonctionsinus, notée, sin, est la fonctionqui à tout réel
xxx
associe
sin(x)\text{sin}(x)sin(x)
.
Propriété
Les fonctions 
cos\text{cos}cos
 et
sin\text{sin}sin
 sont périodiques sur 
R\mathbb{R}R
, de période
2π2\pi2π
.
Démonstration
D'après les propriétés du cosinus et du sinus, pour tout
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
,
cos⁡(x+2π)=cos⁡(x)\cos(x+2\pi)=\cos(x)cos(x+2π)=cos(x)
 et 
sin⁡(x+2π)=sin⁡(x)\sin(x+2\pi)=\sin(x)sin(x+2π)=sin(x)
.
Propriétés 
    • La fonction
cos\text{cos}cos
 est paire sur 
R\mathbb{R}R
.
    • La fonction
sin\text{sin}sin
est impaire sur 
R\mathbb{R}R
.
Démonstration
D'après les propriétés du cosinus et du sinus, pour tout réel 
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
,
cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x)=\cos(x)cos(−x)=cos(x)
 et 
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x)=-\sin(x)sin(−x)=−sin(x)
.

Courbes et variations des fonctions sinus et cosinus

Dans un repère orthogonal, on représente les points
M\text MM
de coordonnées
(cos(x);sin(x))(\text{cos}(x); \text{sin}(x))(cos(x);sin(x))
.
En cliquant sur le bouton
▹\triangleright▹
dans le fichier de géométrie dynamique, on observe la construction de la courbe représentative des fonctions
cos\color{green} {\text{cos}}cos
et
sin\color{red} {\text{sin}}sin
sur une période.
Les figures suivantes montrent les allures des courbes représentatives des fonctions 
cos\color{green} {\text{cos}}cos
et
sin\color{red} {\text{sin}}sin
sur
R\mathbb RR
. Elle se construisent par translation des courbes construites sur une période grâce à la propriété de périodicité des fonctions
cos{\text{cos}}cos
et
sin{\text{sin}}sin
.
Propriété  Variations des fonctions  \({\text{cos}}\)et  \({\text{sin}}\).
La construction des courbes représentatives des fonctions
cos{\text{cos}}cos
et
sin{\text{sin}}sin
permet d'établir les tableaux de variations suivants.