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Exercices d'entraînement

Placer sur le cercle trigonométrique les points suivants le plus précisément possible.

Sommaire

* Points sur le cercle trigonométrique* Sinus et cosinus égaux* Périodicité et parité de fonctions
** Parité de fonctions** Angles associés** QCM

* Points sur le cercle trigonométrique

Placer sur le cercle trigonométrique les points suivants le plus précisément possible.
1.
R\text{R}R
 image du réel
17π6\dfrac{17\pi}{6}617π​
2.
S\text{S}S
 image du réel
−11π4-\dfrac{11\pi}{4}−411π​
3. 
T\text{T}T
 image du réel
−47π3-\dfrac{47\pi}{3}−347π​
4. 
U\text{U}U
 image du réel
2 024π2\,024\pi2024π

* Sinus et cosinus égaux

1.Parmi les angles dont les mesures sont données ci-dessous, lequel a le même cosinus que celui de mesure
π3\dfrac{\pi}{3}3π​
 ? 
2π3     −π6     13π3     −4π3\dfrac{2\pi}{3} \ \ \ \ \ -\dfrac{\pi}{6} \ \ \ \ \ \dfrac{13\pi}{3} \ \ \ \ \ -\dfrac{4\pi}{3}32π​     −6π​     313π​     −34π​
2.Parmi les angles dont les mesures sont données ci-dessous, lequel a le même sinus que celui de mesure
π6\dfrac{\pi}{6}6π​
 ?  
11π6     −7π6     5π3     −5π6\dfrac{11\pi}{6} \ \ \ \ \ -\dfrac{7\pi}{6} \ \ \ \ \ \dfrac{5\pi}{3} \ \ \ \ \ -\dfrac{5\pi}{6}611π​     −67π​     35π​     −65π​

* Périodicité et parité de fonctions

1.Étudier la périodicité des fonctions définies sur
R\mathbb RR
par les expressions suivantes et préciser leur période le cas échéant.  
f(x)=cos⁡(x)×sin⁡(x)f(x)=\cos(x)\times \sin(x)f(x)=cos(x)×sin(x)
g(x)=cos⁡(x5)g(x)=\cos(\dfrac{x}{5})g(x)=cos(5x​)
h(x)=sin⁡(3x)h(x)=\sin(3x)h(x)=sin(3x)
2.Les fonctions définies sur
R\mathbb RR
par les expressions suivantes sont-elles paires ou impaires ? Justifier.
f(x)=xcos⁡(x)f(x) = x \cos(x)f(x)=xcos(x)
g(x)=x2cos⁡(x)sin⁡(x)g(x) = x2\cos(x) \sin(x)g(x)=x2cos(x)sin(x)

** Parité de fonctions

1.Étudier la parité des fonctions suivantes.
    a.La fonction carré sur 
R\mathbb{R}R
.
    b.La fonction cube sur 
R\mathbb{R}R
.
    c.La fonction inverse sur 
R∗\mathbb{R}^{*}R∗
.
    d.Une fonction linéaire sur 
R\mathbb{R}R
.
    e.Une fonction affine sur 
R\mathbb{R}R
.
    f.Une fonction polynôme de degré 2 sur 
R\mathbb{R}R
.
2. Une fonction peut-elle être paire et impaire en même temps ?
3.Une fonction peut-elle être paire et périodique en même temps ? Impaire et périodique ?
4.Soit
fff
et
ggg
les fonctions, définies sur 
R\mathbb{R}R
, par 
f(x)=x2+3x4 et g(x)=x(x+1)(x−−1)f(x) = x2 + 3x^4 \text{ et } g(x) = x(x + 1)(x -- 1)f(x)=x2+3x4 et g(x)=x(x+1)(x−−1)
.
Que dire de leur parité respective ?

** Angles associés

xxx
est un réel.
1.Exprimer les expressions suivantes en fonction de 
cos⁡(x)\cos(x)cos(x)
. 
A(x)=cos⁡⁡(x+3π)−sin⁡⁡(π2−x)−2cos⁡⁡(x)A(x)=\cos⁡(x+3π)-\sin⁡(\frac{π}{2}-x)-2 \cos⁡(x)A(x)=cos⁡(x+3π)−sin⁡(2π​−x)−2cos⁡(x)
B(x)=sin⁡⁡(x+π2)+2cos⁡⁡(π−x)−cos⁡(π+x)B(x)=\sin⁡(x+\frac{π}{2})+2\cos⁡(π-x)-cos⁡(π+x)B(x)=sin⁡(x+2π​)+2cos⁡(π−x)−cos⁡(π+x)
2.Exprimer les expressions suivantes en fonction de 
sin⁡(x)\sin (x)sin(x)
et de
cos⁡(x)\cos(x)cos(x)
. 
A(x)=cos⁡(x+π)−cos(−π)+5cos⁡(x)A(x) = \cos(x +\pi) - cos(-\pi) + 5 \cos( x )A(x)=cos(x+π)−cos(−π)+5cos(x)
B(x)=sin⁡(π−x)+2sin⁡(x+2π)+sin⁡(x+3π)B(x) = \sin(\pi - x) + 2\sin(x + 2\pi) + \sin(x + 3\pi)B(x)=sin(π−x)+2sin(x+2π)+sin(x+3π)
C(x)=sin⁡(π+x)cos⁡(π−x)−sin⁡(π−x)cos(π+x)C(x) = \sin(\pi+ x)\cos(\pi-x) - \sin(\pi- x)cos(\pi+ x)C(x)=sin(π+x)cos(π−x)−sin(π−x)cos(π+x)
D(x)=sin⁡(x+11π)+sin⁡(11π−x)−cos⁡(11π−x)D(x) = \sin(x + 11\pi) + \sin(11\pi- x) - \cos(11\pi- x)D(x)=sin(x+11π)+sin(11π−x)−cos(11π−x)
E(x)=cos⁡(π−x)+2cos⁡(x)−3cos⁡(x+π)E(x)=\cos{\left(\pi-x\right)}+2\cos{\left(x\right)}-3\cos{\left(x+\pi\right)}E(x)=cos(π−x)+2cos(x)−3cos(x+π)
F(x)=sin⁡(2π−x)−2sin⁡(π+x)+5sin⁡(x−3π)F(x)=\sin{\left(2\pi-x\right)}-2\sin{\left(\pi+x\right)}+5\sin{\left(x-3\pi\right)}F(x)=sin(2π−x)−2sin(π+x)+5sin(x−3π)

** QCM

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, plusieurs réponses peuvent être correctes.
1.Indiquer la ou les affirmations vraies parmi les suivantes. 
    a.Une mesure en radians d'un angle orienté est
α=−33π4\alpha=-\dfrac{33\pi}{4}α=−433π​
, sa mesure principale est 
θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4}θ=4π​
.
    b. Une mesure en radians d'un angle orienté est
α=−32π3\alpha=-\dfrac{32\pi}{3}α=−332π​
, sa mesure principale est
θ=2π3\theta=\dfrac{2\pi}{3}θ=32π​
.
    c. Une mesure en radians d'un angle orienté est
α=−86π7\alpha=-\dfrac{86\pi}{7}α=−786π​
, sa mesure principale est
θ=−5π7\theta=-\dfrac{5\pi}{7}θ=−75π​
.
    d. Une mesure en radians d'un angle orienté est
α=−141π11\alpha=-\dfrac{141\pi}{11}α=−11141π​
, sa mesure principale est
θ=−π4\theta=-\dfrac{\pi}{4}θ=−4π​
.
2.Soit
xxx
appartenant à 
]π2;π[\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[]2π​;π[
. On sait que 
sin⁡(x)=23\sin(x)=\dfrac{2}{3}sin(x)=32​
. Indiquer la ou les affirmations vraies parmi les suivantes. 
    a.
cos⁡(2π−x)=−53\cos(2\pi-x)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}cos(2π−x)=−35​​
   b.
cos⁡2(x)=59\cos^2(x)=\dfrac{5}{9}cos2(x)=95​
    c. 
cos⁡(x−π2)=−23\cos(x-\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{2}{3}cos(x−2π​)=−32​
    d. 
sin⁡(x−π)=23\sin(x-\pi)=\dfrac{2}{3}sin(x−π)=32​
3. Soit
xxx
un nombre réel. Parmi les expressions suivantes, indiquer la ou les expressions égales à
A(x)=cos⁡⁡(x+π2)+cos⁡⁡(x+7π)+cos⁡⁡(π−x)+cos⁡⁡(−x)A(x)=\cos⁡(x+\dfrac{π}{2})+\cos⁡(x+7π)+\cos⁡(π-x)+\cos⁡(-x)A(x)=cos⁡(x+2π​)+cos⁡(x+7π)+cos⁡(π−x)+cos⁡(−x)
.
    a. 
B(x)=−cos⁡⁡(x)−sin⁡⁡(x)B(x)=-\cos⁡(x)-\sin⁡(x)B(x)=−cos⁡(x)−sin⁡(x)
    b. 
C(x)=sin⁡⁡(x)−cos⁡⁡(x)C(x)=\sin⁡(x)-\cos⁡(x)C(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)
    c.
D(x)=cos⁡⁡(x)−sin⁡⁡(x)D(x)=\cos⁡(x)-\sin⁡(x)D(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)
    d. 
E(x)=3cos⁡⁡(x)+sin⁡⁡(x)E(x)=3 \cos⁡(x)+\sin⁡(x)E(x)=3cos⁡(x)+sin⁡(x)