Théorème de Pythagore généralisé
On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.
Théorème de Pythagore
Si
\text{ABC}
est un triangle rectangle en
\text{B}
, alors \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle
\text{ABC}
, si\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\), alors
\text{ABC}
est rectangle en
\text{B}
.
Les deux implications étant vraies, on peut les écrire sous forme d'une équivalence de la façon suivante :
est un triangle rectangle en \(\text{B}\)si et seulement si \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
L'objectif de cet activité est de trouver un énoncé qui permette de généraliser ce résultat dans un triangle
quelconque.
La stratégie consiste à exprimer le réel\(d=\text{AC}^2-\text{AB}^2-\text{BC}^2\)en fonction des longueurs
et de
.
Nous savons déjà que
si et seulement si
est rectangle en
\text{B}
.
1.Questions préliminaires
Soit
un triangle quelconque.
On note
le pied de la hauteur issue du point
, c'est-à-dire le point d'intersection de
avec la droite passant par
et perpendiculaire à
.a.Faire un croquis puis montrer que\(d=\text{AH}^2-\text{AB}^2-\text{BH}^2\).b.Soit
un réel. Exprimer
en fonction de
.
2. Expression de\(\boldsymbol{d}\)en fonction de \(\boldsymbol{\text A\text B}\)et \(\boldsymbol{\text B\text C}\)
Dans les trois cas suivants, exprimer
en fonction de
,
et
puis démontrer que
.
• Cas 1 : les points
sont alignés dans cet ordre.
• Cas 2 : les points
sont alignés dans cet ordre.
• Cas 3 : les points
sont alignés dans cet ordre.
3. Un bilan
Nous venons d'établir que, dans un triangle quelconque
,\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\text{AB}\times \text{BC} \times \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\).
Cette expression est une généralisation du théorème de Pythagore.
Le nombre
est appelé produit scalaire des vecteurs
et
et se note
. On peut donc réécrire l'égalité précédente comme\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text B\text C}\).
4. Des cas particuliersa.Que se passe-t-il dans le cas où, dans le triangle
, les points
sont alignés non confondus (le triangle
est aplati) ? Étudier les différents ordres d'alignement. b.Démontrer que, lorsque
est rectangle en
, on retrouve l'égalité du théorème de Pythagore.c.Que se passe-t-il dans le cas où les points
et
sont confondus ?