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Théorème de Pythagore généralisé

On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.

Sommaire

Activité complèteThéorème de Pythagore généralisé
Étape par étapeÉnoncéQuestion 1Question 2Question 3

Activité complète

Théorème de Pythagore généralisé

On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.
Théorème de Pythagore
Si
\text{ABC}
est un triangle rectangle en
\text{B}
, alors \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle
\text{ABC}
, si\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\), alors
\text{ABC}
est rectangle en
\text{B}
.
Les deux implications étant vraies, on peut les écrire sous forme d'une équivalence de la façon suivante : 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en \(\text{B}\)si et seulement si \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
L'objectif de cet activité est de trouver un énoncé qui permette de généraliser ce résultat dans un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 quelconque.
La stratégie consiste à exprimer le réel\(d=\text{AC}^2-\text{AB}^2-\text{BC}^2\)en fonction des longueurs
AB,BC\text{AB}, \text{BC}AB,BC
 et de 
cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{\text A\text B\text C})cos(ABC)
. 
Nous savons déjà que
d=0d=0d=0
si et seulement si 
ABC\text{ABC}ABC
est rectangle en 
\text{B}
.
1.Questions préliminaires
Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangle quelconque.
On note
H\text{H}H
 le pied de la hauteur issue du point 
C\text{C}C
, c'est-à-dire le point d'intersection de
(AB)(\text A\text B)(AB)
avec la droite passant par
C\text CC
et perpendiculaire à
(AB)(\text A\text B)(AB)
.a.Faire un croquis puis montrer que\(d=\text{AH}^2-\text{AB}^2-\text{BH}^2\).b.Soit 
θ\thetaθ
 un réel. Exprimer
cos⁡(π−θ)\cos(\pi-\theta)cos(π−θ)
en fonction de
cos⁡θ\cos\thetacosθ
.
2. Expression de\(\boldsymbol{d}\)en fonction de \(\boldsymbol{\text A\text B}\)et \(\boldsymbol{\text B\text C}\)
Dans les trois cas suivants, exprimer
AH et BH\text{AH} \text{ et } \text{BH}AH et BH
en fonction de
AB\text A\text BAB
,
BC\text B\text CBC
et 
cos⁡θ\cos\thetacosθ
puis démontrer que
d=−2AB×ACcos⁡(ABC^)d=-2\text A\text B\times \text A\text C \cos(\widehat{\text A\text B\text C})d=−2AB×ACcos(ABC)
.
    • Cas 1 : les points 
A, B et H\text{A},\ \text{B et H}A, B et H
 sont alignés dans cet ordre. 
    • Cas 2 : les points 
A, H et B\text{A, H}\ \text{et B}A, H et B
 sont alignés dans cet ordre. 
    • Cas 3 : les points 
H, A et B\text{H, A}\ \text{et B}H, A et B
 sont alignés dans cet ordre. 
3. Un bilan
Nous venons d'établir que, dans un triangle quelconque 
ABC\text{ABC}ABC
,\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\text{AB}\times \text{BC} \times \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\).
Cette expression est une généralisation du théorème de Pythagore.
Le nombre
−12d=AB×BC×cos⁡(ABC^)-\dfrac{1}{2}d=\text{AB}\times\text{BC}\times \cos(\widehat{\text{ABC}})−21​d=AB×BC×cos(ABC)
est appelé produit scalaire des vecteurs 
AB⃗\vec{\text{AB}}AB
 et 
BC⃗\vec{\text{BC}}BC
et se note
AB⃗⋅BC⃗\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text B\text C}AB⋅BC
. On peut donc réécrire l'égalité précédente comme\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text B\text C}\).
4. Des cas particuliersa.Que se passe-t-il dans le cas où, dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, les points 
A, B et C\text{A, B}\ \text{et C}A, B et C
 sont alignés non confondus (le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est aplati) ? Étudier les différents ordres d'alignement.  b.Démontrer que, lorsque 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en 
B\text{B}B
, on retrouve l'égalité du théorème de Pythagore.c.Que se passe-t-il dans le cas où les points
A\text{A}A
et
C\text{C}C
sont confondus ?

Étape par étape

Énoncé

On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.
Théorème de Pythagore
Si
\text{ABC}
est un triangle rectangle en
\text{B}
, alors \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle
\text{ABC}
, si\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\), alors
\text{ABC}
est rectangle en
\text{B}
.
Les deux implications étant vraies, on peut les écrire sous forme d'une équivalence de la façon suivante : 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en \(\text{B}\)si et seulement si \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
L'objectif de cet activité est de trouver un énoncé qui permette de généraliser ce résultat dans un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 quelconque.
La stratégie consiste à exprimer le réel\(d=\text{AC}^2-\text{AB}^2-\text{BC}^2\)en fonction des longueurs
AB,BC\text{AB}, \text{BC}AB,BC
 et de 
cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{\text A\text B\text C})cos(ABC)
. 

Question 1

Question 1.Questions préliminaires
Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangle quelconque.
On note
H\text{H}H
 le pied de la hauteur issue du point 
C\text{C}C
, c'est-à-dire le point d'intersection de
(AB)(\text A\text B)(AB)
avec la droite passant par
C\text CC
et perpendiculaire à
(AB)(\text A\text B)(AB)
.a.Faire un croquis puis montrer que\(d=\text{AH}^2-\text{AB}^2-\text{BH}^2\).b.Soit 
θ\thetaθ
 un réel. Exprimer
cos⁡(π−θ)\cos(\pi-\theta)cos(π−θ)
en fonction de
cos⁡θ\cos\thetacosθ
.

Question 2

Question 2. Expression de\(\boldsymbol{d}\)en fonction de \(\boldsymbol{\text A\text B}\)et \(\boldsymbol{\text B\text C}\)
Dans les trois cas suivants, exprimer
AH,BH\text{AH}, \text{BH}AH,BH
en fonction de
AB\text A\text BAB
,
BC\text B\text CBC
et 
cos⁡θ\cos\thetacosθ
puis démontrer que
d=−2AB×ACcos⁡(ABC^)d=-2\text A\text B\times \text A\text C \cos(\widehat{\text A\text B\text C})d=−2AB×ACcos(ABC)
.
    • Cas 1 : les points 
A, B et H\text{A},\ \text{B et H}A, B et H
 sont alignés dans cet ordre. 
    • Cas 2 : les points 
A, H et B\text{A, H}\ \text{et B}A, H et B
 sont alignés dans cet ordre. 
    • Cas 3 : les points 
H, A et B\text{H, A}\ \text{et B}H, A et B
 sont alignés dans cet ordre. 

Question 3

Bilan
Nous venons d'établir que, dans un triangle quelconque 
ABC\text{ABC}ABC
,\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\text{AB}\times \text{BC} \times \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\).
Cette expression est une généralisation du théorème de Pythagore.
Le nombre
−12d=AB×BC×cos⁡(ABC^)-\dfrac{1}{2}d=\text{AB}\times\text{BC}\times \cos(\widehat{ABC})−21​d=AB×BC×cos(ABC)
est appelé produit scalaire des vecteurs 
AB⃗\vec{\text{AB}}AB
 et 
BC⃗\vec{\text{BC}}BC
et se note
AB⃗⋅BC⃗\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text B\text C}AB⋅BC
. On peut donc réécrire l'égalité précédente comme\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text B\text C}\).
Question 3. Des cas particuliersa.Que se passe-t-il dans le cas où, dans le triangle, les points 
A, B et C\text{A, B}\ \text{et C}A, B et C
 sont alignés non confondus (le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est aplati) ? Étudier les différents ordres d'alignement.  b.Démontrer que, lorsque 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en 
B\text{B}B
, on retrouve l'égalité du théorème de Pythagore.c.Que se passe-t-il dans le cas où les points
A\text{A}A
et
C\text{C}C
sont confondus ?