Rappels et compléments sur les vecteurs

Définition

On appellenormedu vecteur

\vec{u}

, notée

\lVert \vec{u} \rVert

, la distance

\text A\text B

où

\text A

et

\text B

sont les points tels que

\vec{u}=\vec{\text A\text B}

.

Propriété
Dans un repère orthonormé, si

\vec{u}

a pour coordonnées

\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

, alors 

\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2+y^2}

.Démonstration (idée)

C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore. Si on considère les points 

\text A(x_\text A; y_\text A)

et

\text B(x_\text B; y_\text B)

tels que

\vec{u}=\vec{\text A\text B}

, il suffit d'appliquer le théorème au triangle

\text A\text B\text C

, rectangle en 

\text C

, et où 

\text C

a pour coordonnées

(x_\text B;y_\text A)

.

Exemple

Soit

\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}

, alors 

\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}

.

Opérations sur les vecteurs

Définition

Soit

\vec{u}

et

\vec{v}

deux vecteurs ; soit

\text A, \text B,\text C

trois points tels que

\vec{u}=\vec{\text A\text B}

et

\vec{v}=\vec{\text A\text C}

. 
La somme

\vec{u}+\vec{v}

est le vecteur

\vec{w}=\vec{\text A\text D}

tel que

\text A,\text B,\text C,\text D

forment un parallélogramme.

PropriétéRelation de Chasles

Pour tout point

\text A,\text B,\text C

,

\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text C}=\vec{\text A\text C}

.

Propriétés (admises)

Soit

\vec{u}

,

\vec{v}

et

\vec{w}

trois vecteurs. La somme de vecteurs :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;est commutative : si

\vec{u}

et

\vec{v}

sont deux vecteurs, on a 

\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;est associative : si

\vec{u}

,

\vec{v}

et

\vec{w}

sont trois vecteurs, on a 

(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;possède un élément neutre, le vecteur nul

\vec{0}

: pour tout vecteur

\vec{u}

, on a

\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}

. Cela entraîne l'existence de l'opposé de 

\vec{u}

noté 

-\vec{u}

. On a 

\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}

.

Angle orienté de vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\). 

Définition

Soit\(\text M\)et

\text N

deux points du cercle trigonométrique.On appelle mesure de l'angle orienté des vecteurs\((\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\)toute mesure en radians de l'angle orienté\(\widehat {\text{MON}}\).

Remarque 

De façon générale, étant donnés deux vecteurs`\vecu`et

\vecv

du plan et

\text M

et

\text N

deux points du cercle trigonométrique, tels que`\vecu`est colinéaire à 

\vec{\text{OM}}

et

\vecv

est colinéaire à

\vec{\text{ON}}

, on a

\((\vec{u}; \vec{v})=(\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\). 

Propriétés  

Pour tout`\vecu`et `\vecv`vecteurs non nuls du plan

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la mesure principale de`(\vec u ; \vecu)`est

0

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la mesure principale de`(\vec u ; -\vecu)`est 

\pi

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe `k`entier tel que `(\vec u ; \vecv)=-(\vec v ; \vecu)+2k\pi`.

Propriété

Relation de Chasles pour les angles orientés
Pour tout`\vecu`,`\vecv`  et

\vecw

vecteurs non nuls du plan, il existe`k`entier tel que  

(\vecu;\vecv)+(\vecv;\vecw)=(\vecu;\vecw)+2k\pi

.

Déterminer une mesure d'un angle orienté - Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.

On lit :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;les mesures principales des angles

(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OA}})

et

(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OB}})

 qui sont respectivement 

{pi}/4

et

{3\pi}/4

.

{5\pi} /4

est une mesure de l'angle orienté. 

(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OC}})

, sa mesure principale étant 

-{3\pi} /4

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la mesure principale de l'angle orienté

(\vec{\text{OA}};\vec{\text{OC}})

est

\pi

 en accord avec le fait que les points 

\text[A, O, C

sont alignés. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la mesure principale de l'angle orienté 

(\vec{\text{OC}};\vec{\text{OD}})

est

\pi /2

 ; on en déduit la mesure principale de

(\vec{\text{OD}};\vec{\text{OC}})

qui vaut 

-\pi/2

.

(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OD}})=(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OC}})+(\vec{\text{OC}};\vec{\text{OD}})

d'après la relation de Chasles. On en déduit une mesure de l'angle orienté

(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OD}})

 soit

{7\pi} /4

.

Norme d'un vecteur

Opérations sur les vecteurs

Angle orienté de vecteurs

Déterminer une mesure d'un angle orienté - Exemple