Définition
On appellenormedu vecteur
, notée
, la distance
où
et
sont les points tels que
.
Propriété
Dans un repère orthonormé, si
a pour coordonnées
, alors
.Démonstration (idée)
C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore. Si on considère les points
et
tels que
, il suffit d'appliquer le théorème au triangle
, rectangle en
, et où
a pour coordonnées
.
Exemple
Soit
, alors
.
Opérations sur les vecteurs
Définition
Soit
et
deux vecteurs ; soit
trois points tels que
et
.
La somme
est le vecteur
tel que
forment un parallélogramme.
PropriétéRelation de Chasles
Pour tout point
,
.
Propriétés (admises)
Soit
,
et
trois vecteurs. La somme de vecteurs :
• est commutative : si
et
sont deux vecteurs, on a
;
• est associative : si
,
et
sont trois vecteurs, on a
;
• possède un élément neutre, le vecteur nul
: pour tout vecteur
, on a
. Cela entraîne l'existence de l'opposé de
noté
. On a
.
Angle orienté de vecteurs
Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).
Définition
Soit\(\text M\)et
deux points du cercle trigonométrique.On appelle mesure de l'angle orienté des vecteurs\((\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\)toute mesure en radians de l'angle orienté\(\widehat {\text{MON}}\).
Remarque
De façon générale, étant donnés deux vecteurs`\vecu`et
\vecv
du plan et
et
deux points du cercle trigonométrique, tels que`\vecu`est colinéaire à
et
\vecv
est colinéaire à
, on a
\((\vec{u}; \vec{v})=(\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\).
Propriétés
Pour tout`\vecu`et `\vecv`vecteurs non nuls du plan
• la mesure principale de`(\vec u ; \vecu)`est
0
;
• la mesure principale de`(\vec u ; -\vecu)`est
\pi
;
• il existe `k`entier tel que `(\vec u ; \vecv)=-(\vec v ; \vecu)+2k\pi`.
Propriété
Relation de Chasles pour les angles orientés
Pour tout`\vecu`,`\vecv` et
\vecw
vecteurs non nuls du plan, il existe`k`entier tel que
(\vecu;\vecv)+(\vecv;\vecw)=(\vecu;\vecw)+2k\pi
.
Déterminer une mesure d'un angle orienté - Exemple
Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.
On lit :
• les mesures principales des angles
et
qui sont respectivement
{pi}/4
et
{3\pi}/4
.
{5\pi} /4
est une mesure de l'angle orienté.
, sa mesure principale étant
-{3\pi} /4
.
• la mesure principale de l'angle orienté
est
\pi
en accord avec le fait que les points
\text[A, O, C
sont alignés.
• la mesure principale de l'angle orienté
est
\pi /2
; on en déduit la mesure principale de
qui vaut
-\pi/2
.
d'après la relation de Chasles. On en déduit une mesure de l'angle orienté
soit
{7\pi} /4
.