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Rappels et compléments sur les vecteurs

\(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\)

Sommaire

Norme d'un vecteurOpérations sur les vecteursAngle orienté de vecteursDéterminer une mesure d'un angle orienté - Exemple

Norme d'un vecteur

Définition
On appellenormedu vecteur
u⃗\vec{u}u
, notée
∥u⃗∥\lVert \vec{u} \rVert∥u∥
, la distance
AB\text A\text BAB
où
A\text AA
et
B\text BB
sont les points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
.
Propriété
Dans un repère orthonormé, si
u⃗\vec{u}u
a pour coordonnées
u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}u(xy​)
, alors 
∥u⃗∥=x2+y2\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2+y^2}∥u∥=x2+y2​
.Démonstration (idée)
C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore. Si on considère les points 
A(xA;yA)\text A(x_\text A; y_\text A)A(xA​;yA​)
et
B(xB;yB)\text B(x_\text B; y_\text B)B(xB​;yB​)
tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
, il suffit d'appliquer le théorème au triangle
ABC\text A\text B\text CABC
, rectangle en 
C\text CC
, et où 
C\text CC
a pour coordonnées
(xB;yA)(x_\text B;y_\text A)(xB​;yA​)
.
Exemple
Soit
u⃗(−25)\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}u(−25​)
, alors 
∥u⃗∥=(−2)2+52=4+25=29\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}∥u∥=(−2)2+52​=4+25​=29​
.

Opérations sur les vecteurs

Définition
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs ; soit
A,B,C\text A, \text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. 
La somme
u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}u+v
est le vecteur
w⃗=AD⃗\vec{w}=\vec{\text A\text D}w=AD
tel que
A,B,C,D\text A,\text B,\text C,\text DA,B,C,D
forment un parallélogramme.
PropriétéRelation de Chasles
Pour tout point
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
,
AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text C}=\vec{\text A\text C}AB+BC=AC
.
Propriétés (admises)
Soit
u⃗\vec{u}u
,
v⃗\vec{v}v
et
w⃗\vec{w}w
trois vecteurs. La somme de vecteurs :
    • est commutative : si
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont deux vecteurs, on a 
u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}u+v=v+u
 ;
    • est associative : si
u⃗\vec{u}u
,
v⃗\vec{v}v
  et
w⃗\vec{w}w
sont trois vecteurs, on a 
(u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})(u+v)+w=u+(v+w)
 ;
    • possède un élément neutre, le vecteur nul
0⃗\vec{0}0
: pour tout vecteur
u⃗\vec{u}u
, on a
u⃗+0⃗=u⃗\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}u+0=u
. Cela entraîne l'existence de l'opposé de 
u⃗\vec{u}u
noté 
−u⃗-\vec{u}−u
. On a 
u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}u+(−u)=0
.

Angle orienté de vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\). 
Définition
Soit\(\text M\)et
N\text NN
deux points du cercle trigonométrique.On appelle mesure de l'angle orienté des vecteurs\((\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\)toute mesure en radians de l'angle orienté\(\widehat {\text{MON}}\).
Remarque 
De façon générale, étant donnés deux vecteurs`\vecu`et
\vecv
du plan et
M\text MM
et
N\text NN
deux points du cercle trigonométrique, tels que`\vecu`est colinéaire à 
OM⃗\vec{\text{OM}}OM
et 
\vecv
est colinéaire à
ON⃗\vec{\text{ON}}ON
, on a
\((\vec{u}; \vec{v})=(\vec{\text{OM}}; \vec{\text{ON}})\). 
Propriétés  
Pour tout`\vecu`et `\vecv`vecteurs non nuls du plan
    • la mesure principale de`(\vec u ; \vecu)`est
0
 ;
    • la mesure principale de`(\vec u ; -\vecu)`est 
\pi
 ;
    • il existe `k`entier tel que `(\vec u ; \vecv)=-(\vec v ; \vecu)+2k\pi`.
Propriété
Relation de Chasles pour les angles orientés
Pour tout`\vecu`,`\vecv`  et
\vecw
vecteurs non nuls du plan, il existe`k`entier tel que  
(\vecu;\vecv)+(\vecv;\vecw)=(\vecu;\vecw)+2k\pi
.

Déterminer une mesure d'un angle orienté - Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé\(\text{(O,I,J)}\).Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.
On lit :
    • les mesures principales des angles
(OI⃗;OA⃗)(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OA}})(OI;OA)
et
(OI⃗;OB⃗)(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OB}})(OI;OB)
 qui sont respectivement 
{pi}/4
et
{3\pi}/4
.
{5\pi} /4
est une mesure de l'angle orienté. 
(OI⃗;OC⃗)(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OC}})(OI;OC)
, sa mesure principale étant 
-{3\pi} /4
.
    • la mesure principale de l'angle orienté
(OA⃗;OC⃗)(\vec{\text{OA}};\vec{\text{OC}})(OA;OC)
 est
\pi
 en accord avec le fait que les points 
\text[A, O, C
sont alignés. 
    • la mesure principale de l'angle orienté 
(OC⃗;OD⃗)(\vec{\text{OC}};\vec{\text{OD}})(OC;OD)
est
\pi /2
 ; on en déduit la mesure principale de
(OD⃗;OC⃗)(\vec{\text{OD}};\vec{\text{OC}})(OD;OC)
qui vaut 
-\pi/2
.
(OI⃗;OD⃗)=(OI⃗;OC⃗)+(OC⃗;OD⃗)(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OD}})=(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OC}})+(\vec{\text{OC}};\vec{\text{OD}})(OI;OD)=(OI;OC)+(OC;OD)
d'après la relation de Chasles. On en déduit une mesure de l'angle orienté
(OI⃗;OD⃗)(\vec{\text{OI}};\vec{\text{OD}})(OI;OD)
 soit
{7\pi} /4
.