Arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui porte sur les nombres entiers relatifs. C'est-à-dire qu'en arithmétique, on travaille dans l'ensemble 

\mathbb{Z}

.

Définition

Soit 

a\in\mathbb{Z}

 et soit 

b\in \mathbb{Z}

 ; on dit que 

b

divise

a

 s'il existe 

k\in \mathbb{Z}

 tel que 

a=k\times b

.
On dit aussi que 

b

 est undiviseurde 

a

.
On dit aussi que 

a

 estdivisiblepar 

b

.
On dit aussi que 

a

 est unmultiplede 

b

.

Exemple

38=2\times19

On peut alors dire que :

\(19\) divise \(38\) et aussi que \(2\) divise \(38\) ;
\(38\) est divisible par \(19\) et aussi que \(38\) est divisible par \(2\) ;
\(19\) est un diviseur de \(38\) et aussi que \(2\) est un diviseur de \(38\) ;
\(38\) est un multiple de \(19\) et aussi que \(38\) est un multiple de \(2\).

Propriété

Soit 

a

,

b

et

c

 trois nombres entiers relatifs.
Si 

b

et

c

 sont des multiples de 

a

, alors 

b+c

 est aussi un multiple de 

a

.

Démonstration

Soit 

a

,

b

et

c

 trois nombres entiers relatifs.
Par hypothèse,

b

et

c

 sont des multiples de 

a

.
Ceci signifie qu'il existe 

k_1\in\mathbb{Z}

et

k_2\in\mathbb{Z}

 tels que

b=a\times k_1

et

c=a\times k_1

.
Par conséquent,

b+c=a\times k_1+a\times k_2=a\times (k_1+k_2)

.

Or

k_1\in\mathbb{Z}

et

k_2\in\mathbb{Z}

 donc 

k_1+k_2\in\mathbb{Z}

 .
Ainsi,

b+c

 s'écrit comme le produit de

a

 par un entier relatif.

b+c

est bien un multiple de 

a

.

Critères de divisibilité

Propriété

Un nombre entier est divisible par \(2\) si et seulement s'il est pair. Autrement dit, un nombre est divisible par \(2\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(2\) ou \(4\) ou \(6\) ou \(8\).
Un nombre entier est divisible par \(3\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\).
Un nombre entier est divisible par \(4\) si et seulement si le nombre constitué par ses deux derniers chiffres (celui des dizaines et celui des unités) est un multiple de \(4\).
Un nombre entier est divisible par \(5\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
Un nombre entier est divisible par \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(9\).

Exemples

\(54\) est un nombre pair, il est donc divisible par \(2\), et on a \(54=2\times 27\).
\(174\) est divisible par \(3\) car \(1+7+4=12\) qui est un multiple de \(3\), et on a \(174=3\times 58\).
\(224\) est divisible par \(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est \(24\) qui est un multiple de \(4\), et on a \(224=4\times 56\).
\(4\ 600\) est divisible par\(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est\(00\) soit \(0\)qui est un multiple de\(4\) , et on a\(4600=4\times 1150\).
\(765\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(5\), et on a \(765=5\times 153\).
\(100\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(0\) , et on a \(100=5\times 20\).
\(819\) est divisible par \(9\) car\(8+1+9=18\) qui est un multiple de\(9\) , et on a\(819=9\times91\).

​​​​Propriété

Si un nombre est divisible par \(4\), alors il est divisible par \(2\).
Si un nombre est divisible par \(9\), alors il est divisible par \(3\).
Un nombre est divisible par \(6\) si et seulement s'il est divisible par \(2\) et par \(3\).

Exemple

102

 est un nombre pair donc il est divisible par 

2

.
De plus,

1+0+2=3

 est un multiple de 

3

 donc 

102

 est divisible par 

3

.
Par conséquent,

102

 est divisible par 

6

 et on a 

102=6\times 17

.

Remarque

D'après la propriété, si un nombre n'est pas divisible par

2

, alors il n'est pas divisible par

4

.
Par exemple,

453

 est un nombre impair, il n'est pas divisible par

2

, donc il n'est pas divisible par

4

D'aprèsla propriété, si on nombre n'est pas divisible par

3

, alors il n'est pas divisible par

9

.

Exemple
Simplifions la fraction suivante 

\dfrac{576}{336}

.

576=2\times 288=2\times 2\times 144=2^2\times 2\times 72=2^3\times 2 \times 36=2^4 \times 2 \times 18 \times =2^5 \times 2 \times 9

Et donc 

576 = 2^6 \times 3^2

.

336=2\times 168=2\times 2 \times 84=2^2\times 2\times 42=2^3 \times 2\times 21=2^4 \times 3\times 7

.
D'où 

\dfrac{576}{336}=\dfrac{2^6\times 3^2}{2^4\times 3\times 7}=\dfrac{2^6}{2^4}\times \dfrac{3^2}{3}\times \dfrac{1}{7}=2^{6-4}\times 3^{2-1}\times \dfrac{1}{7}=2^2\times 3\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{12}{7}

.

Nombre pair, nombre impair

Définitions

Un nombre pair est un nombre divisible par \(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif\(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k=2k\).

Un nombre impair est un nombre qui n'est pas divisible par\(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif\(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k+1=2k+1\).

Exemples

\(8=2\times 4\) est un nombre pair (ici,\(k=4\)).
\(7=2\times3+1\) est un nombre impair (ici,\(k=3\)).

Propriété

Soit 

a\in \mathbb{Z}

.

a

 est impair si et seulement si 

a^2

 est impair.

Démonstration

Il s'agit ici de démontrer uneéquivalencelogique.

Démontrons que, si \(a\) est impair, alors \(a^2\) l'est aussi.
\(a\) étant impair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\) alors \(a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\).
Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2+2k\in \mathbb{Z}\) , et on a bien \(a^2=2K+1\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
Ceci signifie que \(a^2\) est impair.
Démontrons que, si \(a^2\) est impair, alors \(a\) est impair.
Pour cela, on utilise la méthode par contraposée : on démontre que si \(a\) est pair, alors \(a^2\) est pair.
\(a\)étant pair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\) alors \(a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)\)
Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2\) , et on a bien \(a^2=2K\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
Ceci signifie que \(a^2\) est pair.

Nombre premier

Définition

Un nombre entier est premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs qui sont 

1

 et lui même.

Remarques

\(1\) n'est pas un nombre premier puisqu'il n'admet qu'un seul diviseur positif qui est lui même.
Le seul nombre premier pair est \(2\). Il admet bien exactement deux diviseurs positifs qui sont \(1\) et lui même \(2\).
Voici les premiers nombres premiers :\(\quad 2\quad 3\quad 5\quad 7\quad 11\quad 13\quad 17\quad 19\quad 23\).

​​​​​​Exemple

42

 est-il un nombre premier ?

42

 est divisible par

1

, par

42

, par

3

. Il admet plus de deux diviseurs positifs donc ce n'est pas un nombre premier.
(

42

 admet comme diviseurs positifs :

1, 2, 3, 6, 7,14, 21, 42

).

Irrationalité de racine de 2

Propriété

\sqrt2

 n'est pas un nombre rationnel.
Démonstration

Raisonnons par l'absurde.
On suppose que 

\sqrt2

 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe 

a

et

b

 entiers naturels, avec 

b

non nul, tels que 

\sqrt2=\dfrac{a}{b}

 ,où\(\boldsymbol a\) et \(\boldsymbol b\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(\boldsymbol 1\)(on dit qu'ils sont premiers entre eux).
Ceci équivaut à 

2=\dfrac{a^2}{b^2}

.
Ceci équivaut à 

\color{red}{2b^2=a^2}

 donc

a^2

 est un multiple de 

2

 c'est-à-dire que 

a^2

 est un nombre pair.
Par conséquent,\(\boldsymbol a\) est aussi un nombre pair.
Il existe alors 

k

 entier naturel tel que 

a=2k

 ; on remplace 

a

par

2k

 dans l'égalité écrite en rouge.
On obtient alors :

2b^2=4k^2\Leftrightarrow b^2=2k^2

.
L'égalité ci-dessus indique que 

b^2

 est un nombre pair et donc que\(\boldsymbol b\) est aussi un nombre pair.
a et 

b

 étant tous les deux des nombres pairs, ils admettent

2

 comme diviseur commun.
Or nous avons supposé au départ que

a

et

b

 n'avaient pas d'autre diviseur commun que

1

.
On aboutit alors une contradiction. 
L'hypothèse formulée au départ est donc fausse.
Par conséquent,

\sqrt2

 n'est pas un nombre rationnel. 

\sqrt2

 est un nombre irrationnel.

Un tiers n'est pas un nombre décimal

Propriété

\dfrac{1}{3}

 n'est pas un nombre décimal.
Démonstration

Raisonnons par l'absurde.
On suppose que 

\dfrac{1}{3}

 est un nombre décimal, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels 

a

et

n

 tels que 

\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}

.
Ceci équivaut à 

3a=10^n

.
Or 

3a

 est un multiple de 

3

 donc 

10^n

 (qui est égal à

3a

) l'est aussi.
Ceci entraîne que 

3

 doit être un diviseur de 

10

. Ceci est faux. On aboutit à une contradiction.
Donc l'hypothèse formulée au départ est fausse.

Par conséquent, 

\dfrac{1}{3}

n'est pas un nombre décimal.

Divisibilité

Critères de divisibilité

Nombre pair, nombre impair

Nombre premier

Irrationalité de racine de 2

Un tiers n'est pas un nombre décimal