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Arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui porte sur les nombres entiers relatifs. C'est-à-dire...

Sommaire

DivisibilitéCritères de divisibilitéNombre pair, nombre impairNombre premierIrrationalité de racine de 2Un tiers n'est pas un nombre décimal

Divisibilité

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui porte sur les nombres entiers relatifs. C'est-à-dire qu'en arithmétique, on travaille dans l'ensemble 
Z\mathbb{Z}Z
.
Définition
Soit 
a∈Za\in\mathbb{Z}a∈Z
 et soit 
b∈Zb\in \mathbb{Z}b∈Z
 ; on dit que 
bbb
divise
aaa
 s'il existe 
k∈Zk\in \mathbb{Z}k∈Z
 tel que 
a=k×ba=k\times ba=k×b
.
On dit aussi que 
bbb
 est undiviseurde 
aaa
.
On dit aussi que 
aaa
 estdivisiblepar 
bbb
.
On dit aussi que 
aaa
 est unmultiplede 
bbb
.
Exemple
38=2×1938=2\times1938=2×19
On peut alors dire que :
  • \(19\) divise \(38\) et aussi que \(2\) divise \(38\) ;
  • \(38\) est divisible par \(19\) et aussi que \(38\) est divisible par \(2\) ;
  • \(19\) est un diviseur de \(38\) et aussi que \(2\) est un diviseur de \(38\) ;
  • \(38\) est un multiple de \(19\) et aussi que \(38\) est un multiple de \(2\).
Propriété
Soit 
aaa
, 
bbb
 et
ccc
 trois nombres entiers relatifs.
Si 
bbb
 et 
ccc
 sont des multiples de 
aaa
, alors 
b+cb+cb+c
 est aussi un multiple de 
aaa
.
Démonstration
Soit 
aaa
, 
bbb
 et
ccc
 trois nombres entiers relatifs.
Par hypothèse,
bbb
 et 
ccc
 sont des multiples de 
aaa
.
Ceci signifie qu'il existe 
k1∈Zk_1\in\mathbb{Z}k1​∈Z
 et 
k2∈Zk_2\in\mathbb{Z}k2​∈Z
 tels que
b=a×k1b=a\times k_1b=a×k1​
et 
c=a×k1c=a\times k_1c=a×k1​
.
Par conséquent,
b+c=a×k1+a×k2=a×(k1+k2)b+c=a\times k_1+a\times k_2=a\times (k_1+k_2)b+c=a×k1​+a×k2​=a×(k1​+k2​)
.
Or 
k1∈Zk_1\in\mathbb{Z}k1​∈Z
 et 
k2∈Zk_2\in\mathbb{Z}k2​∈Z
 donc 
k1+k2∈Zk_1+k_2\in\mathbb{Z}k1​+k2​∈Z
 .
Ainsi,
b+cb+cb+c
 s'écrit comme le produit de
aaa
 par un entier relatif.
b+cb+cb+c
est bien un multiple de 
aaa
.

Critères de divisibilité

Propriété
  • Un nombre entier est divisible par \(2\) si et seulement s'il est pair. Autrement dit, un nombre est divisible par \(2\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(2\) ou \(4\) ou \(6\) ou \(8\).
  • Un nombre entier est divisible par \(3\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\).
  • Un nombre entier est divisible par \(4\) si et seulement si le nombre constitué par ses deux derniers chiffres (celui des dizaines et celui des unités) est un multiple de \(4\).
  • Un nombre entier est divisible par \(5\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
  • Un nombre entier est divisible par \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(9\).
Exemples
  • \(54\) est un nombre pair, il est donc divisible par \(2\), et on a \(54=2\times 27\).
  • \(174\) est divisible par \(3\) car \(1+7+4=12\) qui est un multiple de \(3\), et on a \(174=3\times 58\).
  • \(224\) est divisible par \(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est \(24\) qui est un multiple de \(4\), et on a \(224=4\times 56\).
  • \(4\ 600\) est divisible par\(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est\(00\) soit \(0\)qui est un multiple de\(4\) , et on a\(4600=4\times 1150\).
  • \(765\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(5\), et on a \(765=5\times 153\).
  • \(100\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(0\) , et on a \(100=5\times 20\).
  • \(819\) est divisible par \(9\) car\(8+1+9=18\) qui est un multiple de\(9\) , et on a\(819=9\times91\).
​​​​Propriété
  • Si un nombre est divisible par \(4\), alors il est divisible par \(2\).
  • Si un nombre est divisible par \(9\), alors il est divisible par \(3\).
  • Un nombre est divisible par \(6\) si et seulement s'il est divisible par \(2\) et par \(3\).
Exemple
102102102
 est un nombre pair donc il est divisible par 
222
.
De plus,
1+0+2=31+0+2=31+0+2=3
 est un multiple de 
333
 donc 
102102102
 est divisible par 
333
.
Par conséquent,
102102102
 est divisible par 
666
 et on a 
102=6×17102=6\times 17102=6×17
.
Remarque
D'après la propriété, si un nombre n'est pas divisible par
222
, alors il n'est pas divisible par
444
.
Par exemple,
453453453
 est un nombre impair, il n'est pas divisible par
222
, donc il n'est pas divisible par
444
D'aprèsla propriété, si on nombre n'est pas divisible par
333
, alors il n'est pas divisible par
999
.
Exemple
Simplifions la fraction suivante 
576336\dfrac{576}{336}336576​
.
576=2×288=2×2×144=22×2×72=23×2×36=24×2×18×=25×2×9576=2\times 288=2\times 2\times 144=2^2\times 2\times 72=2^3\times 2 \times 36=2^4 \times 2 \times 18 \times =2^5 \times 2 \times 9576=2×288=2×2×144=22×2×72=23×2×36=24×2×18×=25×2×9
Et donc 
576=26×32576 = 2^6 \times 3^2576=26×32
.
336=2×168=2×2×84=22×2×42=23×2×21=24×3×7336=2\times 168=2\times 2 \times 84=2^2\times 2\times 42=2^3 \times 2\times 21=2^4 \times 3\times 7336=2×168=2×2×84=22×2×42=23×2×21=24×3×7
.
D'où 
576336=26×3224×3×7=2624×323×17=26−4×32−1×17=22×3×17=127\dfrac{576}{336}=\dfrac{2^6\times 3^2}{2^4\times 3\times 7}=\dfrac{2^6}{2^4}\times \dfrac{3^2}{3}\times \dfrac{1}{7}=2^{6-4}\times 3^{2-1}\times \dfrac{1}{7}=2^2\times 3\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{12}{7}336576​=24×3×726×32​=2426​×332​×71​=26−4×32−1×71​=22×3×71​=712​
.

Nombre pair, nombre impair

Définitions
  • Un nombre pair est un nombre divisible par \(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif\(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k=2k\).
  • Un nombre impair est un nombre qui n'est pas divisible par\(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif\(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k+1=2k+1\).
Exemples
  • \(8=2\times 4\) est un nombre pair (ici,\(k=4\)).
  • \(7=2\times3+1\) est un nombre impair (ici,\(k=3\)).
Propriété
Soit 
a∈Za\in \mathbb{Z}a∈Z
.
aaa
 est impair si et seulement si 
a2a^2a2
 est impair.
Démonstration
Il s'agit ici de démontrer uneéquivalencelogique.
  • Démontrons que, si \(a\) est impair, alors \(a^2\) l'est aussi.
    \(a\) étant impair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\) alors \(a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\).
    Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2+2k\in \mathbb{Z}\) , et on a bien \(a^2=2K+1\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
    Ceci signifie que \(a^2\) est impair.
  • Démontrons que, si \(a^2\) est impair, alors \(a\) est impair.
    Pour cela, on utilise la méthode par contraposée : on démontre que si \(a\) est pair, alors \(a^2\) est pair.
    \(a\)étant pair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\) alors \(a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)\)
    Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2\) , et on a bien \(a^2=2K\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
    Ceci signifie que \(a^2\) est pair.

Nombre premier

Définition
Un nombre entier est premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs qui sont 
111
 et lui même.
Remarques
  • \(1\) n'est pas un nombre premier puisqu'il n'admet qu'un seul diviseur positif qui est lui même.
  • Le seul nombre premier pair est \(2\). Il admet bien exactement deux diviseurs positifs qui sont \(1\) et lui même \(2\).
  • Voici les premiers nombres premiers :\(\quad 2\quad 3\quad 5\quad 7\quad 11\quad 13\quad 17\quad 19\quad 23\).
​​​​​​Exemple
424242
 est-il un nombre premier ?
424242
 est divisible par
111
, par
424242
, par
333
. Il admet plus de deux diviseurs positifs donc ce n'est pas un nombre premier.
(
424242
 admet comme diviseurs positifs :
1,2,3,6,7,14,21,421, 2, 3, 6, 7,14, 21, 421,2,3,6,7,14,21,42
).

Irrationalité de racine de 2

Propriété
2\sqrt22​
 n'est pas un nombre rationnel.
Démonstration
Raisonnons par l'absurde.
On suppose que 
2\sqrt22​
 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe 
aaa
 et 
bbb
 entiers naturels, avec 
bbb
non nul, tels que 
2=ab\sqrt2=\dfrac{a}{b}2​=ba​
 ,où\(\boldsymbol a\) et \(\boldsymbol b\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(\boldsymbol 1\)(on dit qu'ils sont premiers entre eux).
Ceci équivaut à 
2=a2b22=\dfrac{a^2}{b^2}2=b2a2​
.
Ceci équivaut à 
2b2=a2\color{red}{2b^2=a^2}2b2=a2
 donc
a2a^2a2
 est un multiple de 
222
 c'est-à-dire que 
a2a^2a2
 est un nombre pair.
Par conséquent,\(\boldsymbol a\) est aussi un nombre pair.
Il existe alors 
kkk
 entier naturel tel que 
a=2ka=2ka=2k
 ; on remplace 
aaa
 par
2k2k2k
 dans l'égalité écrite en rouge.
On obtient alors :
2b2=4k2⇔b2=2k22b^2=4k^2\Leftrightarrow b^2=2k^22b2=4k2⇔b2=2k2
.
L'égalité ci-dessus indique que 
b2b^2b2
 est un nombre pair et donc que\(\boldsymbol b\) est aussi un nombre pair.
a et 
bbb
 étant tous les deux des nombres pairs, ils admettent
222
 comme diviseur commun.
Or nous avons supposé au départ que
aaa
 et 
bbb
 n'avaient pas d'autre diviseur commun que
111
.
On aboutit alors une contradiction. 
L'hypothèse formulée au départ est donc fausse.
Par conséquent,
2\sqrt22​
 n'est pas un nombre rationnel. 
2\sqrt22​
 est un nombre irrationnel.

Un tiers n'est pas un nombre décimal

Propriété
13\dfrac{1}{3}31​
 n'est pas un nombre décimal.
Démonstration
Raisonnons par l'absurde.
On suppose que 
13\dfrac{1}{3}31​
 est un nombre décimal, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels 
aaa
 et
nnn
 tels que 
13=a10n\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}31​=10na​
.
Ceci équivaut à 
3a=10n3a=10^n3a=10n
.
Or 
3a3a3a
 est un multiple de 
333
 donc 
10n10^n10n
 (qui est égal à
3a3a3a
) l'est aussi.
Ceci entraîne que 
333
 doit être un diviseur de 
101010
. Ceci est faux. On aboutit à une contradiction.
Donc l'hypothèse formulée au départ est fausse.
Par conséquent, 
13\dfrac{1}{3}31​
n'est pas un nombre décimal.