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Ensembles de nombres

1.La somme de deux nombres décimaux est-elle un nombre décimal ?

Sommaire

L'ensemble des nombres décimauxL'ensemble des nombres rationnelsLes rationnels qui sont des décimaux

L'ensemble des nombres décimaux

1.La somme de deux nombres décimaux est-elle un nombre décimal ?
2.La différence de deux nombres décimaux est-elle un nombre décimal ?
3.Le produit de deux nombres décimaux est-il un nombre décimal ?
4.Le quotient de deux nombres décimaux est-il un nombre décimal ?

L'ensemble des nombres rationnels

1.La somme de deux nombres rationnels est-elle un nombre rationnel ?
2.La différence de deux nombres rationnels est-elle un nombre rationnel ?
3.Le produit de deux nombres rationnels est-il un nombre rationnel ?
4.Le quotient de deux nombres rationnels est-il un nombre rationnel ? 

Les rationnels qui sont des décimaux

Propriété(admise)
Soit 
p∈Zp\in \mathbb{Z}p∈Z
 et 
q∈Z∗q\in \mathbb{Z^*}q∈Z∗
.
Le nombre 
pq\dfrac{p}{q}qp​
 est un nombre décimal si et seulement si 
qqq
 est de la forme 
2n×5m2^n\times 5^m2n×5m
, où 
nnn
 et 
mmm
 sont des entiers naturels.
Exemples
  • \(\dfrac{7}{72}=\dfrac{7}{2^3\times 3^2}\) n'est pas un nombre décimal puisque le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme d'un produit d'une puissance de \(2\) par une puissance de \(5\).
  • \(\dfrac{7}{40}=\dfrac{7}{2^3\times 5}\) est un nombre décimal puis le dénominateur est de la forme \(2^3\times 5^1\).
Exercice
1.Montrer que les nombres suivants sont des nombres décimaux.
A=−320B=3240C=7280D=−9180\qquad A=\dfrac{-3}{20} \qquad B=\dfrac{3}{240} \qquad C=\dfrac{7}{280} \qquad D=\dfrac{-9}{180}A=20−3​B=2403​C=2807​D=180−9​
2.Les nombres suivants sont-ils des nombres décimaux ?
A=57B=−3120C=29D=972\qquad A=\dfrac{5}{7} \qquad B=\dfrac{-3}{120} \qquad C=\dfrac{2}{9} \qquad D=\dfrac{9}{72}A=75​B=120−3​C=92​D=729​