Équation et inéquation

1.Résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes.
    a.

\sqrt 5x-3\sqrt 2+\sqrt 2x=2\sqrt 5

b.

\dfrac{2}{x^2-9}+\dfrac{1}{(x+3)(x+2)}=\dfrac{1}{(x-3)(x-2)}

2.Soit

m

 un réel fixé. On considère l'équation suivante, d'inconnue 

x

.

m^2(x-2)=x+m+1

.a.Montrer que cette équation est équivalente à l'équation 

(m^2-1)x=2m^2+m+1

.b.Montrer que si 

m\in \{-1;1\}

 alors cette équation n'a pas de solution dans

\mathbb{R}

 .c.On suppose que 

m\notin \{-1;1\}

. Déterminer, en fonction de 

m

, la solution dans

\mathbb{R}

 de cette équation.

Énoncé

1. Soit 

a

et

b

 deux nombres réels. Démontrer quel'on a :

a^2=b^2 \Leftrightarrow a=b\;\text{ou}\;a=-b

2.En utilisant la propriété précédente, résoudre dans

\mathbb{R}

 les équations suivantes.
    a.

(x-1)^2=9

b.

(3x+2)^2=3

c.

4(x+2)^2=16

d.

3(1-2x)^2=1

Solution

1.Soit

a

et

b

 sont deux nombres réels.

a^2=b^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=0 \Leftrightarrow a-b=0 \;\text{ou}\; a+b=0

\Leftrightarrow a=b\; \text{ou}\;a=-b

2.a. 

(x-1)^2=9 \Leftrightarrow (x-1)^2=3^2 \Leftrightarrow x-1=3\; \text{ou}\;x-1=-3 \Leftrightarrow x=4\; \text{ou}\;x=-2

Donc 

\mathscr{S}=\{-2;4\}

.
b.

(3x+2)^2=3 \Leftrightarrow (3x+2)^2=\sqrt 3^2 \Leftrightarrow 3x+2=\sqrt 3\;\text{ou}\;3x+2=-\sqrt 3

\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\; \text{ou}\;x=\dfrac{-\sqrt 3-2}{3}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{-\sqrt 3-2}{3};\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\right\rbrace

.
c.

4(x+2)^2=16 \Leftrightarrow (x+2)^2=\dfrac{16}{4}=4 \Leftrightarrow x+2=2\;\text{ou}\;x+2=-2

\Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\; x=-4

Donc 

\mathscr{S}=\{-4;0\}

.
d.

3(1-2x)^2=1 \Leftrightarrow (1-2x)^2=\dfrac{1}{3}\ \Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\; 1-2x=-\dfrac{\sqrt 3}{3}

\Leftrightarrow 2x=1-\dfrac{\sqrt 3}{3}=\dfrac{3-\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\;2x=\dfrac{3+\sqrt 3}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{3-\sqrt 3}{6}\;\text{ou}\;x=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}

Donc 

\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{3-\sqrt 3}{6};\dfrac{3+\sqrt 3}{6}\right\rbrace

.

Énoncé

Résoudredans

\mathbb{R}

 les inéquations suivantes.
1.

\dfrac{x}{2}-3<1-\dfrac{2x-1}{6}

2.

2x-1+\dfrac{x+5}{2}>\dfrac{7}{2}+\dfrac{4x}{3}

3.

\dfrac{3-x}{12}-\dfrac{x}{3}\leq1+\dfrac{3(x+1)}{4}

Solution

On remarque que toutes ces inéquations sont bien définies sur 

\mathbb{R}

.

1.

\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x-1}{6}<4 \Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{6}<4 \Leftrightarrow 5x-1<24\iff x<\dfrac{25}{5}\ \Leftrightarrow x<5

Donc 

\mathscr{S}=]-\infty;5[

.

2.

\dfrac{12x-6}{6}+\dfrac{3x+15}{6}>\dfrac{21}{6}+\dfrac{8x}{6} \Leftrightarrow \dfrac{15x+9}{6}>\dfrac{8x+21}{6}

\Leftrightarrow 15x+9>8x+21 \Leftrightarrow 15x-8x>21-9 \Leftrightarrow 7x>12 \Leftrightarrow x>\dfrac{12}{7}

Donc 

\mathscr{S}=\left]\dfrac{12}{7};+\infty\right[

.

3.

\dfrac{3-x-4x}{12}\leq\dfrac{12+9x+9}{12} \Leftrightarrow 3-5x\leq 9x+21 \Leftrightarrow-5x-9x \leq 21-3

\Leftrightarrow-14x \leq 18 \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{18}{14} \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{9}{7}

Donc 

\mathscr{S}=\left[-\dfrac{9}{7};+\infty\right[

.

Résoudre une équation