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Équation et inéquation

\(\sqrt 5x-3\sqrt 2+\sqrt 2x=2\sqrt 5\)

Sommaire

Résoudre une équation☛ Carrés égaux☛ Résoudre une inéquation

Résoudre une équation

1.Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
    a.
5x−32+2x=25\sqrt 5x-3\sqrt 2+\sqrt 2x=2\sqrt 55​x−32​+2​x=25​
b.
2x2−9+1(x+3)(x+2)=1(x−3)(x−2)\dfrac{2}{x^2-9}+\dfrac{1}{(x+3)(x+2)}=\dfrac{1}{(x-3)(x-2)}x2−92​+(x+3)(x+2)1​=(x−3)(x−2)1​
2.Soit
mmm
 un réel fixé. On considère l'équation suivante, d'inconnue 
xxx
.
m2(x−2)=x+m+1m^2(x-2)=x+m+1m2(x−2)=x+m+1
.a.Montrer que cette équation est équivalente à l'équation 
(m2−1)x=2m2+m+1(m^2-1)x=2m^2+m+1(m2−1)x=2m2+m+1
.b.Montrer que si 
m∈{−1;1}m\in \{-1;1\}m∈{−1;1}
 alors cette équation n'a pas de solution dans
R\mathbb{R}R
 .c.On suppose que 
m∉{−1;1}m\notin \{-1;1\}m∈/{−1;1}
. Déterminer, en fonction de 
mmm
, la solution dans
R\mathbb{R}R
 de cette équation.

☛ Carrés égaux

Énoncé
1. Soit 
aaa
 et 
bbb
 deux nombres réels. Démontrer quel'on a :
a2=b2⇔a=b  ou  a=−ba^2=b^2 \Leftrightarrow a=b\;\text{ou}\;a=-ba2=b2⇔a=boua=−b
2.En utilisant la propriété précédente, résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
    a.
(x−1)2=9(x-1)^2=9(x−1)2=9
    b.
(3x+2)2=3(3x+2)^2=3(3x+2)2=3
    c.
4(x+2)2=164(x+2)^2=164(x+2)2=16
    d.
3(1−2x)2=13(1-2x)^2=13(1−2x)2=1
Solution
1.Soit
aaa
 et 
bbb
 sont deux nombres réels.
a2=b2⇔a2−b2=0⇔(a−b)(a+b)=0⇔a−b=0  ou  a+b=0a^2=b^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=0 \Leftrightarrow a-b=0 \;\text{ou}\; a+b=0a2=b2⇔a2−b2=0⇔(a−b)(a+b)=0⇔a−b=0oua+b=0
⇔a=b  ou  a=−b\Leftrightarrow a=b\; \text{ou}\;a=-b⇔a=boua=−b
2.a. 
(x−1)2=9⇔(x−1)2=32⇔x−1=3  ou  x−1=−3⇔x=4  ou  x=−2(x-1)^2=9 \Leftrightarrow (x-1)^2=3^2 \Leftrightarrow x-1=3\; \text{ou}\;x-1=-3 \Leftrightarrow x=4\; \text{ou}\;x=-2(x−1)2=9⇔(x−1)2=32⇔x−1=3oux−1=−3⇔x=4oux=−2
Donc 
S={−2;4}\mathscr{S}=\{-2;4\}S={−2;4}
.
b.
(3x+2)2=3⇔(3x+2)2=32⇔3x+2=3  ou  3x+2=−3(3x+2)^2=3 \Leftrightarrow (3x+2)^2=\sqrt 3^2 \Leftrightarrow 3x+2=\sqrt 3\;\text{ou}\;3x+2=-\sqrt 3(3x+2)2=3⇔(3x+2)2=3​2⇔3x+2=3​ou3x+2=−3​
⇔x=3−23  ou  x=−3−23\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\; \text{ou}\;x=\dfrac{-\sqrt 3-2}{3}⇔x=33​−2​oux=3−3​−2​
Donc 
S={−3−23;3−23}\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{-\sqrt 3-2}{3};\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\right\rbraceS={3−3​−2​;33​−2​}
.
c.
4(x+2)2=16⇔(x+2)2=164=4⇔x+2=2  ou  x+2=−24(x+2)^2=16 \Leftrightarrow (x+2)^2=\dfrac{16}{4}=4 \Leftrightarrow x+2=2\;\text{ou}\;x+2=-24(x+2)2=16⇔(x+2)2=416​=4⇔x+2=2oux+2=−2
⇔x=0  ou  x=−4\Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\; x=-4⇔x=0oux=−4
Donc 
S={−4;0}\mathscr{S}=\{-4;0\}S={−4;0}
.
d.
3(1−2x)2=1⇔(1−2x)2=13 ⇔1−2x=13=13=33  ou  1−2x=−333(1-2x)^2=1 \Leftrightarrow (1-2x)^2=\dfrac{1}{3}\ \Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\; 1-2x=-\dfrac{\sqrt 3}{3}3(1−2x)2=1⇔(1−2x)2=31​ ⇔1−2x=31​​=3​1​=33​​ou1−2x=−33​​
⇔2x=1−33=3−33  ou  2x=3+33⇔x=3−36  ou  x=3+36\Leftrightarrow 2x=1-\dfrac{\sqrt 3}{3}=\dfrac{3-\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\;2x=\dfrac{3+\sqrt 3}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{3-\sqrt 3}{6}\;\text{ou}\;x=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}⇔2x=1−33​​=33−3​​ou2x=33+3​​⇔x=63−3​​oux=63+3​​
Donc 
S={3−36;3+36}\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{3-\sqrt 3}{6};\dfrac{3+\sqrt 3}{6}\right\rbraceS={63−3​​;63+3​​}
.

☛ Résoudre une inéquation

Énoncé
Résoudredans
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.
1.
x2−3<1−2x−16\dfrac{x}{2}-3<1-\dfrac{2x-1}{6}2x​−3<1−62x−1​
2.
2x−1+x+52>72+4x32x-1+\dfrac{x+5}{2}>\dfrac{7}{2}+\dfrac{4x}{3}2x−1+2x+5​>27​+34x​
3.
3−x12−x3≤1+3(x+1)4\dfrac{3-x}{12}-\dfrac{x}{3}\leq1+\dfrac{3(x+1)}{4}123−x​−3x​≤1+43(x+1)​
Solution
On remarque que toutes ces inéquations sont bien définies sur 
R\mathbb{R}R
.
1.
3x6+2x−16<4⇔5x−16<4⇔5x−1<24  ⟺  x<255 ⇔x<5\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x-1}{6}<4 \Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{6}<4 \Leftrightarrow 5x-1<24\iff x<\dfrac{25}{5}\ \Leftrightarrow x<563x​+62x−1​<4⇔65x−1​<4⇔5x−1<24⟺x<525​ ⇔x<5
Donc 
S=]−∞;5[\mathscr{S}=]-\infty;5[S=]−∞;5[
.
2.
12x−66+3x+156>216+8x6⇔15x+96>8x+216\dfrac{12x-6}{6}+\dfrac{3x+15}{6}>\dfrac{21}{6}+\dfrac{8x}{6} \Leftrightarrow \dfrac{15x+9}{6}>\dfrac{8x+21}{6}612x−6​+63x+15​>621​+68x​⇔615x+9​>68x+21​
⇔15x+9>8x+21⇔15x−8x>21−9⇔7x>12⇔x>127\Leftrightarrow 15x+9>8x+21 \Leftrightarrow 15x-8x>21-9 \Leftrightarrow 7x>12 \Leftrightarrow x>\dfrac{12}{7}⇔15x+9>8x+21⇔15x−8x>21−9⇔7x>12⇔x>712​
Donc 
S=]127;+∞[\mathscr{S}=\left]\dfrac{12}{7};+\infty\right[S=]712​;+∞[
.
3.
3−x−4x12≤12+9x+912⇔3−5x≤9x+21⇔−5x−9x≤21−3\dfrac{3-x-4x}{12}\leq\dfrac{12+9x+9}{12} \Leftrightarrow 3-5x\leq 9x+21 \Leftrightarrow-5x-9x \leq 21-3123−x−4x​≤1212+9x+9​⇔3−5x≤9x+21⇔−5x−9x≤21−3
⇔−14x≤18⇔x≥−1814⇔x≥−97\Leftrightarrow-14x \leq 18 \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{18}{14} \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{9}{7}⇔−14x≤18⇔x≥−1418​⇔x≥−79​
Donc 
S=[−97;+∞[\mathscr{S}=\left[-\dfrac{9}{7};+\infty\right[S=[−79​;+∞[
.