Translation - Vecteur du plan

Soit

\text{ABCD}

et

\text{CDEF}

 deux parallélogrammes non aplatis.

1.Faire une figure.
2.Déterminer deux vecteurs égaux au vecteur

\overrightarrow{\text{DC}}

.
3.Déterminer la nature du quadrilatère

\text{BAEF}

.

Soit

\text{ABDC}

 un parallélogramme non aplati. Soit

\text E

 le symétrique du point

\text A

 par rapport au point

\text B

.

1.Faire une figure.
2.Déterminer deux vecteurs égaux au vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

.
3.Déterminer la nature du quadrilatère

\text{BCDE}

.

Soit

\text{EFGH}

 un parallélogramme non aplati. Soit

\text A

 le symétrique du point

\text E

 par rapport au point

\text F

. Soit

\text B

 le symétrique du point

\text G

 par rapport au point

\text H

.

1.Parmi les trois schémas ci-dessous, lequel représente la situation décrite dans l'énoncé ?

2.Démontrer que les segments 

[\text{AB}]

et

[\text{EG}]

 ont le même milieu.

3.En déduire la nature du quadrilatère

\text{AEBG}

.

Soit

\text{ABE}

 un triangle d'aire non nulle. Soit

\text D

 le symétrique du point

\text E

 par rapport au point

\text A

. Soit

\text G

 le symétrique du point

\text B

 par rapport au point

\text A

. Soit

\text C

 le point tel que

\text{ABCD}

est un parallélogramme. Soit

\text F

 le point tel que

\text{AEFG}

est un parallélogramme.

1.Faire une figure.
2.Montrer que le quadrilatère

\text{ABEF}

 est un parallélogramme.
3.Montrer que le quadrilatère

\text{AEBC}

 est un parallélogramme.
4.Déduire des questions précédentes que le point

\text A

 est le milieu du segment

[\text{FC}]

.
5.Déterminer la nature du quadrilatère

\text{CDFE}

.

Énoncé

Soit

\text{ABCD}

 un parallélogramme non aplati. Soit

\text E

et

\text F

 les symétriques du point

\text A

, respectivement, par rapport aux points

\text B

et

\text D

. Le point

\text C

 est-il le milieu du segment

[\text{EF}]

?

Solution

On sait que

\text{ABCD}

 est un parallélogramme. Donc

\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}}

.

On sait que

\text E

 est le symétrique du point

\text A

 par rapport au point

\text B

.
Ceci signifie que

\text B

 est le milieu du segment

[\text{AE}]

. Donc

\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{BE}}}

.

Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que

\boxed{\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}}

.

Or, si on a

\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}

, alors le quadrilatère

\text{BECD}

 est un parallélogramme et on a

\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{EC}}}}

.

De même, on sait que

\text{ABCD}

 est un parallélogramme. Donc

\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}}

.

On sait que

\text F

 est le symétrique du point

\text A

 par rapport au point

\text D

.

Ceci signifie que

\text D

est le milieu du segment

[\text{AF}]

. Donc

\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{DF}}}

.

Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que

\boxed{\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}}

.

Or, si on a

\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}

, alors le quadrilatère

\text{BCFD}

 est un parallélogramme et on a

\boxed{\color{red}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{CF}}}}

.

À l'aide des égalités

\color{green}{\text{verte}}

et

\color{red}{\text{rouge}}

, on peut affirmer que

\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{EC}}} = \color{red}{\overrightarrow{\text{CF}}}}

.

Donc le point

\text C

 est le milieu du segment

[\text{EF}]

.

* Deux parallélogrammes