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Translation - Vecteur du plan

 deux parallélogrammes non aplatis.

Sommaire

* Deux parallélogrammes* Vers un parallélogramme* Milieu et parallélogramme** À partir d'un triangle☛ *** C'est le milieu ?

* Deux parallélogrammes

Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 et
CDEF\text{CDEF}CDEF
 deux parallélogrammes non aplatis.
1.Faire une figure.
2.Déterminer deux vecteurs égaux au vecteur
DC→\overrightarrow{\text{DC}}DC
.
3.Déterminer la nature du quadrilatère
BAEF\text{BAEF}BAEF
.

* Vers un parallélogramme

Soit
ABDC\text{ABDC}ABDC
 un parallélogramme non aplati. Soit
E\text EE
 le symétrique du point
A\text AA
 par rapport au point
B\text BB
.
1.Faire une figure.
2.Déterminer deux vecteurs égaux au vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
3.Déterminer la nature du quadrilatère
BCDE\text{BCDE}BCDE
.

* Milieu et parallélogramme

Soit
EFGH\text{EFGH}EFGH
 un parallélogramme non aplati. Soit
A\text AA
 le symétrique du point
E\text EE
 par rapport au point
F\text FF
. Soit
B\text BB
 le symétrique du point
G\text GG
 par rapport au point
H\text HH
.
1.Parmi les trois schémas ci-dessous, lequel représente la situation décrite dans l'énoncé ?
2.Démontrer que les segments 
[AB][\text{AB}][AB]
et
[EG][\text{EG}][EG]
 ont le même milieu.
3.En déduire la nature du quadrilatère
AEBG\text{AEBG}AEBG
.

** À partir d'un triangle

Soit
ABE\text{ABE}ABE
 un triangle d'aire non nulle. Soit
D\text DD
 le symétrique du point
E\text EE
 par rapport au point
A\text AA
. Soit
G\text GG
 le symétrique du point
B\text BB
 par rapport au point
A\text AA
. Soit
C\text CC
 le point tel que
ABCD\text{ABCD}ABCD
est un parallélogramme. Soit
F\text FF
 le point tel que
AEFG\text{AEFG}AEFG
est un parallélogramme.
1.Faire une figure.
2.Montrer que le quadrilatère
ABEF\text{ABEF}ABEF
 est un parallélogramme.
3.Montrer que le quadrilatère
AEBC\text{AEBC}AEBC
 est un parallélogramme.
4.Déduire des questions précédentes que le point
A\text AA
 est le milieu du segment
[FC][\text{FC}][FC]
.
5.Déterminer la nature du quadrilatère
CDFE\text{CDFE}CDFE
.

☛ *** C'est le milieu ?

Énoncé
Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un parallélogramme non aplati. Soit
E\text EE
 et
F\text FF
 les symétriques du point
A\text AA
, respectivement, par rapport aux points
B\text BB
 et
D\text DD
. Le point
C\text CC
 est-il le milieu du segment
[EF][\text{EF}][EF]
 ?
Solution
On sait que
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un parallélogramme. Donc
AB→=DC→\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}}AB=DC​
.
On sait que
E\text EE
 est le symétrique du point
A\text AA
 par rapport au point
B\text BB
.
Ceci signifie que
B\text BB
 est le milieu du segment
[AE][\text{AE}][AE]
. Donc
AB→=BE→\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{BE}}}AB=BE​
.
Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que
BE→=DC→\boxed{\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}}BE=DC​
.
Or, si on a
BE→=DC→\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}BE=DC
, alors le quadrilatère
BECD\text{BECD}BECD
 est un parallélogramme et on a
BD→=EC→\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{EC}}}}BD=EC​
.
De même, on sait que
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un parallélogramme. Donc
AD→=BC→\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}}AD=BC​
.
On sait que
F\text FF
 est le symétrique du point
A\text AA
 par rapport au point
D\text DD
.
Ceci signifie que
D\text DD
est le milieu du segment
[AF][\text{AF}][AF]
. Donc
AD→=DF→\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{DF}}}AD=DF​
.
Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que
BC→=DF→\boxed{\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}}BC=DF​
.
Or, si on a
BC→=DF→\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}BC=DF
, alors le quadrilatère
BCFD\text{BCFD}BCFD
 est un parallélogramme et on a
BD→=CF→\boxed{\color{red}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{CF}}}}BD=CF​
.
À l'aide des égalités
verte\color{green}{\text{verte}}verte
 et
rouge\color{red}{\text{rouge}}rouge
, on peut affirmer que
EC→=CF→\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{EC}}} = \color{red}{\overrightarrow{\text{CF}}}}EC=CF​
.
Donc le point
C\text CC
 est le milieu du segment
[EF][\text{EF}][EF]
.