Opérations sur les vecteurs du plan

Soit

\text{ABCD}

 un quadrilatère.

1.Montrer que

\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{BC}} - \overrightarrow{\text{DC}} = \overrightarrow{\text{0}}

.

2.Supposons que, pour tout point

\text M

 du plan, on a

\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}} - \overrightarrow{\text{MB}} - \overrightarrow{\text{MD}} = \overrightarrow{\text{0}}

.a.Montrer que

\overrightarrow{\text{DA}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{0}}

.b.En déduire la nature du quadrilatère

\text{ABCD}

.

Soit

\text{ABCD}

 un quadrilatère non aplati. On considère les points

\text I

,

\text J

,

\text K

et

\text L

, milieux respectifs des segments

[\text{AB}]

,

[\text{BC}]

,

[\text{CD}]

et

[\text{DA}]

.

1.a.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur

\overrightarrow{\text{IJ}}

 en fonction des vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{BC}}

.b.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur

\overrightarrow{\text{LK}}

 en fonction des vecteurs

\overrightarrow{\text{AD}}

et

\overrightarrow{\text{DC}}

.

2.Déduire des questions précédentes la nature du quadrilatère

\text{IJKL}

.

Soit

\text{ABCD}

 un quadrilatère non aplati. Soit

\text I

 le milieu du segment

[\text{AB}]

et

\text J

le milieu du segment

[\text{CD}]

.

1.a.Montrer que

\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{BD}}

.b.Montrer que

\overrightarrow{\text{IJ}} = -\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{AC}}

.c.En déduire que

\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{BD}} \right)

.

2.a. Déduire une condition équivalente à 

\overrightarrow{\text{IJ}} = \overrightarrow{0}

en s'appuyant sur la question précédente.b.Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère

\text{ACBD}

?

Soit

\text{ABC}

 un triangle d'aire non nulle. On considère les points

\text M

et

\text N

, milieux respectifs des segments

[\text{AB}]

et

[\text{AC}]

. On définit le point

\text P

 tel que :

\overrightarrow{\text{AP}} = \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{NC}}

.

1.a.Faire une figure.b.Conjecturer la position du point

\text P

.

2.Exprimer le vecteur

\overrightarrow{\text{AP}}

 à l'aide des vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{AC}}

.

3.On considère le point

\text D

 tel que

\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}

.a.Montrer que le quadrilatère

\text{ABDC}

 est un parallélogramme.b.En déduire que le point

\text P

 est le milieu du segment

[\text{BC}]

.

* Deux égalités, un quadrilatère