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Opérations sur les vecteurs du plan

\(\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{BC}} - \overrightarrow{\text{DC}}...

Sommaire

* Deux égalités, un quadrilatère** Théorème de Varignon** Quadrilatère croisé ou non ?*** D'un milieu à l'autre

* Deux égalités, un quadrilatère

Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un quadrilatère.
1.Montrer que
AB→−AD→+BC→−DC→=0→\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{BC}} - \overrightarrow{\text{DC}} = \overrightarrow{\text{0}}AB−AD+BC−DC=0
.
2.Supposons que, pour tout point
M\text MM
 du plan, on a
MA→+MC→−MB→−MD→=0→\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}} - \overrightarrow{\text{MB}} - \overrightarrow{\text{MD}} = \overrightarrow{\text{0}}MA+MC−MB−MD=0
.a.Montrer que
DA→+BC→=0→\overrightarrow{\text{DA}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{0}}DA+BC=0
.b.En déduire la nature du quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
.

** Théorème de Varignon

Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un quadrilatère non aplati. On considère les points
I\text II
,
J\text JJ
,
K\text KK
 et
L\text LL
, milieux respectifs des segments
[AB][\text{AB}][AB]
,
[BC][\text{BC}][BC]
,
[CD][\text{CD}][CD]
 et
[DA][\text{DA}][DA]
.
1.a.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur
IJ→\overrightarrow{\text{IJ}}IJ
 en fonction des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
BC→\overrightarrow{\text{BC}}BC
.b.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur
LK→\overrightarrow{\text{LK}}LK
 en fonction des vecteurs
AD→\overrightarrow{\text{AD}}AD
 et 
DC→\overrightarrow{\text{DC}}DC
.
2.Déduire des questions précédentes la nature du quadrilatère
IJKL\text{IJKL}IJKL
.

** Quadrilatère croisé ou non ?

Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un quadrilatère non aplati. Soit
I\text II
 le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
et
J\text JJ
le milieu du segment
[CD][\text{CD}][CD]
.
1.a.Montrer que
IJ→=12(AB→+DC→)+BD→\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{BD}}IJ=21​(AB+DC)+BD
.b.Montrer que
IJ→=−12(AB→+DC→)+AC→\overrightarrow{\text{IJ}} = -\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{AC}}IJ=−21​(AB+DC)+AC
.c.En déduire que
IJ→=12(AC→+BD→)\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{BD}} \right)IJ=21​(AC+BD)
.
2.a. Déduire une condition équivalente à 
IJ→=0→\overrightarrow{\text{IJ}} = \overrightarrow{0}IJ=0
en s'appuyant sur la question précédente.b.Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère
ACBD\text{ACBD}ACBD
 ?

*** D'un milieu à l'autre

Soit
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle d'aire non nulle. On considère les points
M\text MM
 et
N\text NN
, milieux respectifs des segments
[AB][\text{AB}][AB]
 et
[AC][\text{AC}][AC]
. On définit le point
P\text PP
 tel que :
AP→=MB→+NC→\overrightarrow{\text{AP}} = \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{NC}}AP=MB+NC
.
1.a.Faire une figure.b.Conjecturer la position du point
P\text PP
.
2.Exprimer le vecteur
AP→\overrightarrow{\text{AP}}AP
 à l'aide des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
3.On considère le point
D\text DD
 tel que
AD→=AB→+AC→\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}AD=AB+AC
.a.Montrer que le quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
 est un parallélogramme.b.En déduire que le point
P\text PP
 est le milieu du segment
[BC][\text{BC}][BC]
.