Repère et coordonnées

Définitions

Soit

\overrightarrow{i}

et

\overrightarrow{j}

 deux vecteurs non nuls du plan n'ayantpas la même direction.

Le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme alors unebasedu plan.
Si, de plus, les droites supports des vecteurs\(\overrightarrow{i}\) et\(\overrightarrow{j}\) sont perpendiculaires et\(|| \overrightarrow{i} || = || \overrightarrow{j} ||= 1\), alors on dit que la base\(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) estorthonormée.

Exemples

Le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme une base du plan :

le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme une base orthonormée du plan :

Coordonnées d'un vecteur

Propriété(admise)

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. On considère un vecteur du plan noté

\overrightarrow{u}

 .
Alors, il existe ununiquecouple de réels

\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)

 tels que

\boxed{\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}}

.

Définition

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. On considère un vecteur du plan noté

\overrightarrow{u}

 .
Soit

\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)

le couple de réels tels que

\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}

.
Alors, on dit que levecteur

\overrightarrow{u}

a pourcoordonnéesle couple

\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)

dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

.
On note

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}

.

Exemple

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

une base orthonormée du plan. On considère un vecteur du plan noté

\overrightarrow{u}

.
On a

\overrightarrow{u} = \color{green} 5 \times \overrightarrow{i} + \color{red} 2 \times \overrightarrow{j}

.
Les coordonnées du vecteur

\overrightarrow{u}

 dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 sont

\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 2\\ \end{pmatrix}

.

Remarque

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. On s'intéresse au vecteur nul

\overrightarrow{0}

.
On a

\overrightarrow{0} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}

. Donc

\overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}

.

Coordonnées de la somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un réel

Propriété
Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}

 deux vecteurs du plan. Soit

k \in \mathbb{R}

.

Le vecteur\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} x + x^{\prime} \\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\).
Le vecteur\(k \times \overrightarrow{u}\) a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}\).

Démonstration
Dans une base du plan

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 on considère deux vecteurs 

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}

. Soit

k \in \mathbb{R}

.

Ainsi on a

\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}

et

\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}

.

\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} & = & x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} + x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} \\& = & \left( x + x^{\prime} \right) \times \overrightarrow{i} + \left( y + y^{\prime}\right) \times \overrightarrow{j}\end{array}

 Donc on obtient

\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x + x^{\prime}\\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}}

.

\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; k \times \overrightarrow{u} & = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} \right) + k \times \left( y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & \left( k \times x \right) \times \overrightarrow{i} + \left( k \times y \right) \times \overrightarrow{j} \\\end{array}

Donc on obtient

\boxed{k \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}}

.

Exemples
Dans une base du plan

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

, on considère les vecteurs

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2\\ 5 \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3\\ -7 \\ \end{pmatrix}

.
On veut déterminer les coordonnées des vecteurs

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}

,

4 \times \overrightarrow{u}

et

-6 \times \overrightarrow{v}

.

On a\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2 + 3\\ 5 + (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ \end{pmatrix}\).
On a\(4 \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \times (-2) \\ 4 \times 5\\ \end{pmatrix}\) soit\(4\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -8\\ 20\\ \end{pmatrix}\).
On a\(-6 \times \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -6 \times 3 \\ -6 \times (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit\(-6 \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -18 \\ 42 \\ \end{pmatrix}\).

Vecteurs égaux

Propriété
Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}

 deux vecteurs du plan.
Alors les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

 sontégauxsi et seulement si on a

\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime}\\ \end{cases}

.

Démonstration
Dans une base du plan

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

, on considère deux vecteurs

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}

.
Ainsi on peut écrire

\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}

et

\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}

.

Sens direct
On a\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) soit\(x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}\)ce qui peut aussi s'écrire :
\((x-x^{\prime} ) \times \overrightarrow{i} + (y-y^{\prime}) \times \overrightarrow{j} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}\).
Le vecteur nul\(\overrightarrow{0}\)a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\). Ses coordonnées sont uniques. Donc :\(\begin{cases} x-x^{\prime} = 0\\ y-y^{\prime}=0 \\ \end{cases}\)soit\(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
Sens réciproque
On a\(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
Donc\(\overrightarrow{u} =x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} =\overrightarrow{v}\)
On obtient bien\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\).

Lien entre les coordonnées d'un vecteur et celles d'un point

Définition

Soit

\text O

 un point et

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan.
Le triplet

\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 forme unrepèredu plan. Le point

\text O

 est appeléoriginedu repère.

Si la base 

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 est orthonormée, on dit que le repère 

\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 est orthonormé.

Propriété

Soit 

(\text{O}~,\text{I}~, \text{J})

un repère du plan. On pose 

\overrightarrow{i}=\overrightarrow{\text{OI}}

et

\overrightarrow{j}=\overrightarrow{\text{OJ}}

.
Soit 

\overrightarrow{u}

un vecteur du plan de coordonnées

\begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}

dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

.
Alors il existe un unique point 

\text M

tel que

\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{u}

.
On a alors

\text M\left( \color{green}{x} ; \color{red}{y} \right)

.

Remarque

Soit

\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

un repère du plan. Les coordonnées d'un point

\text A

 dans le repère

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 sont les coordonnées du vecteur

\overrightarrow{\text{OA}}

 dans la base

\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

.

Exemple
On considère le repère orthonormé

\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

ci-dessous.
Les coordonnées du point

\text A

dans le repère 

\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

sont

\left( \color{green}{5}~ ; \color{red}{3} \right)

.
Les coordonnées du vecteur 

\overrightarrow{\text{OA}}

 dans la base

\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

sont

\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 3\\ \end{pmatrix}

.

Coordonnées d'un vecteur à partir de celles de deux points

Propriété

Soit

\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 un repère du plan. Soit

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)

 deux points du plan.
Lescoordonnéesdu vecteur

\overrightarrow{\text{AB}}

dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

sont données par

\boxed{\begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A}\\ y_{\text B} - y_{\text A} \end{pmatrix}}

.

Démonstration
Dans un repère

\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( \color{green}{x_{\text A}} ; \color{red}{y_{\text A}} \right)

et

\text B \left( \color{blue}{x_{\text B}} ; \color{orange}{y_{\text B}} \right)

.
D'après la relation de Chasles, on peut écrire

\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{OB}}

.
Ceci peut aussi s'écrire

\overrightarrow{\text{AB}} = -\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}}

.
Or, on a :

\(\overrightarrow{\text{OA}} = \color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} + \color{red}{y_{\text A}} \times \overrightarrow{j}\) soit\(-\overrightarrow{\text{OA}} = -\color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} - \color{red}{y_{\text A}} \overrightarrow{j}\)
\(\overrightarrow{\text{OB}} = \color{blue}{x_{\text B}} \times \overrightarrow{i} + \color{orange}{y_{\text B}} \times \overrightarrow{j}\)

Donc on peut écrire

\overrightarrow{\text{AB}} = \left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right) \times \overrightarrow{i} + \left(\color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right) \overrightarrow{j}

 soit

\boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix}}

  dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

.

Exemple
Dans un repère

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( \color{green}{-2}~ ; \color{red}{5} \right)

et

\text B \left( \color{blue}{3} ~; \color{orange}{-2} \right)

.
Alors on a

\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix} \iff \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{3} - (\color{green}{-2})\\ \color{orange}{-2} - \color{red}{5} \end{pmatrix} \iff \boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -7 \end{pmatrix}}

Base du plan

Coordonnées d'un vecteur

Coordonnées de la somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un réel

Vecteurs égaux

Lien entre les coordonnées d'un vecteur et celles d'un point

Coordonnées d'un vecteur à partir de celles de deux points