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Repère et coordonnées

 deux vecteurs non nuls du plan n'ayantpas la même direction.

Sommaire

Base du planCoordonnées d'un vecteurCoordonnées de la somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un réelVecteurs égauxLien entre les coordonnées d'un vecteur et celles d'un pointCoordonnées d'un vecteur à partir de celles de deux points

Base du plan

Définitions
Soit
i→\overrightarrow{i}i
 et
j→\overrightarrow{j}j​
 deux vecteurs non nuls du plan n'ayantpas la même direction.
  • Le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme alors unebasedu plan.
  • Si, de plus, les droites supports des vecteurs\(\overrightarrow{i}\) et\(\overrightarrow{j}\) sont perpendiculaires et\(|| \overrightarrow{i} || = || \overrightarrow{j} ||= 1\), alors on dit que la base\(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) estorthonormée.
Exemples
  • Le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme une base du plan :
  • le couple de vecteurs\(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)\) forme une base orthonormée du plan :

Coordonnées d'un vecteur

Propriété(admise)
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. On considère un vecteur du plan noté
u→\overrightarrow{u}u
 .
Alors, il existe ununiquecouple de réels
(x;y)\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)(x;y)
 tels que
u→=x×i→+y×j→\boxed{\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}}u=x×i+y×j​​
.
Définition
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. On considère un vecteur du plan noté
u→\overrightarrow{u}u
 .
Soit
(x;y)\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)(x;y)
le couple de réels tels que
u→=x×i→+y×j→\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}u=x×i+y×j​
.
Alors, on dit que levecteur
u→\overrightarrow{u}u
a pourcoordonnéesle couple
(x;y)\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)(x;y)
dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
.
On note
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
.
Exemple
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
une base orthonormée du plan. On considère un vecteur du plan noté
u→\overrightarrow{u}u
.
On a
u→=5×i→+2×j→\overrightarrow{u} = \color{green} 5 \times \overrightarrow{i} + \color{red} 2 \times \overrightarrow{j}u=5×i+2×j​
.
Les coordonnées du vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 sont
(52)\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 2\\ \end{pmatrix}(52​)
.
Remarque
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. On s'intéresse au vecteur nul
0→\overrightarrow{0}0
.
On a
0→=0×i→+0×j→\overrightarrow{0} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}0=0×i+0×j​
. Donc
0→(00)\overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}0(00​)
.

Coordonnées de la somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un réel

Propriété
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. Soit
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
 et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
 deux vecteurs du plan. Soit
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
  • Le vecteur\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} x + x^{\prime} \\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\).
  • Le vecteur\(k \times \overrightarrow{u}\) a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}\).
Démonstration
Dans une base du plan
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 on considère deux vecteurs 
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
 et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
. Soit
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
Ainsi on a
u→=x×i→+y×j→\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}u=x×i+y×j​
 et
v→=x′×i→+y′×j→\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}v=x′×i+y′×j​
.
∙  u→+v→=x×i→+y×j→+x′×i→+y′×j→=(x+x′)×i→+(y+y′)×j→\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} & = & x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} + x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} \\& = & \left( x + x^{\prime} \right) \times \overrightarrow{i} + \left( y + y^{\prime}\right) \times \overrightarrow{j}\end{array}∙u+v​==​x×i+y×j​+x′×i+y′×j​(x+x′)×i+(y+y′)×j​​
 Donc on obtient
u→+v→(x+x′y+y′)\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x + x^{\prime}\\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}}u+v(x+x′y+y′​)​
 .
∙  k×u→=k×(x×i→+y×j→)=k×(x×i→)+k×(y×j→)=(k×x)×i→+(k×y)×j→\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; k \times \overrightarrow{u} & = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} \right) + k \times \left( y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & \left( k \times x \right) \times \overrightarrow{i} + \left( k \times y \right) \times \overrightarrow{j} \\\end{array}∙k×u​===​k×(x×i+y×j​)k×(x×i)+k×(y×j​)(k×x)×i+(k×y)×j​​
Donc on obtient
k×u→(k×xk×y)\boxed{k \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}}k×u(k×xk×y​)​
 .
Exemples
Dans une base du plan
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
, on considère les vecteurs
u→(−25)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2\\ 5 \\ \end{pmatrix}u(−25​)
 et
v→(3−7)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3\\ -7 \\ \end{pmatrix}v(3−7​)
.
On veut déterminer les coordonnées des vecteurs
u→+v→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}u+v
,   
4×u→4 \times \overrightarrow{u}4×u
et
−6×v→-6 \times \overrightarrow{v}−6×v
.
  • On a\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2 + 3\\ 5 + (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ \end{pmatrix}\).
  • On a\(4 \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \times (-2) \\ 4 \times 5\\ \end{pmatrix}\) soit\(4\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -8\\ 20\\ \end{pmatrix}\).
  • On a\(-6 \times \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -6 \times 3 \\ -6 \times (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit\(-6 \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -18 \\ 42 \\ \end{pmatrix}\).

Vecteurs égaux

Propriété
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. Soit
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
 et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
 deux vecteurs du plan.
Alors les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 sontégauxsi et seulement si on a
{x=x′y=y′\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime}\\ \end{cases}{x=x′y=y′​
.
Démonstration
Dans une base du plan
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
, on considère deux vecteurs
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
 et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
.
Ainsi on peut écrire
u→=x×i→+y×j→\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}u=x×i+y×j​
 et
v→=x′×i→+y′×j→\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}v=x′×i+y′×j​
.
  • Sens direct
    On a\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) soit\(x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}\)ce qui peut aussi s'écrire :
    \((x-x^{\prime} ) \times \overrightarrow{i} + (y-y^{\prime}) \times \overrightarrow{j} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}\).
    Le vecteur nul\(\overrightarrow{0}\)a pour coordonnées\(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\). Ses coordonnées sont uniques. Donc :\(\begin{cases} x-x^{\prime} = 0\\ y-y^{\prime}=0 \\ \end{cases}\)soit\(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
  • Sens réciproque
    On a\(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
    Donc\(\overrightarrow{u} =x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} =\overrightarrow{v}\)
    On obtient bien\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\).

Lien entre les coordonnées d'un vecteur et celles d'un point

Définition
Soit
O\text OO
 un point et
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan.
Le triplet
(O ;i→,j→)\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 forme unrepèredu plan. Le point
O\text OO
 est appeléoriginedu repère.
Si la base 
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 est orthonormée, on dit que le repère 
(O ;i→,j→)\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 est orthonormé.
Propriété
Soit 
(O ,I ,J)(\text{O}~,\text{I}~, \text{J})(O ,I ,J)
un repère du plan. On pose 
i→=OI→\overrightarrow{i}=\overrightarrow{\text{OI}}i=OI
et 
j→=OJ→\overrightarrow{j}=\overrightarrow{\text{OJ}}j​=OJ
.
Soit 
u→\overrightarrow{u}u
un vecteur du plan de coordonnées
(xy)\begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}(xy​)
dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
.
Alors il existe un unique point 
M\text MM
tel que
OM→=u→\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{u}OM=u
.
On a alors
M(x;y)\text M\left( \color{green}{x} ; \color{red}{y} \right)M(x;y)
.
Remarque
Soit
(O ;i→,j→)\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
un repère du plan. Les coordonnées d'un point
A\text AA
 dans le repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 sont les coordonnées du vecteur
OA→\overrightarrow{\text{OA}}OA
 dans la base
(i→,j→)\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
.
Exemple
On considère le repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
ci-dessous.
Les coordonnées du point
A\text AA
dans le repère 
(O ;i→,j→)\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
sont
(5 ;3)\left( \color{green}{5}~ ; \color{red}{3} \right)(5 ;3)
.
Les coordonnées du vecteur 
OA→\overrightarrow{\text{OA}}OA
 dans la base
(i→,j→)\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
sont
(53)\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 3\\ \end{pmatrix}(53​)
.

Coordonnées d'un vecteur à partir de celles de deux points

Propriété
Soit
(O ;i→,j→)\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 un repère du plan. Soit
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)B(xB​;yB​)
 deux points du plan.
Lescoordonnéesdu vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
sont données par
(xB−xAyB−yA)\boxed{\begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A}\\ y_{\text B} - y_{\text A} \end{pmatrix}}(xB​−xA​yB​−yA​​)​
 .
Démonstration
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(xA;yA)\text A \left( \color{green}{x_{\text A}} ; \color{red}{y_{\text A}} \right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( \color{blue}{x_{\text B}} ; \color{orange}{y_{\text B}} \right)B(xB​;yB​)
.
D'après la relation de Chasles, on peut écrire
AB→=AO→+OB→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{OB}}AB=AO+OB
.
Ceci peut aussi s'écrire
AB→=−OA→+OB→\overrightarrow{\text{AB}} = -\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}}AB=−OA+OB
.
Or, on a :
  • \(\overrightarrow{\text{OA}} = \color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} + \color{red}{y_{\text A}} \times \overrightarrow{j}\) soit\(-\overrightarrow{\text{OA}} = -\color{green}{x_{\text A}} \times \overrightarrow{i} - \color{red}{y_{\text A}} \overrightarrow{j}\)
  • \(\overrightarrow{\text{OB}} = \color{blue}{x_{\text B}} \times \overrightarrow{i} + \color{orange}{y_{\text B}} \times \overrightarrow{j}\)
Donc on peut écrire
AB→=(xB−xA)×i→+(yB−yA)j→\overrightarrow{\text{AB}} = \left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right) \times \overrightarrow{i} + \left(\color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right) \overrightarrow{j}AB=(xB​−xA​)×i+(yB​−yA​)j​
 soit
AB→(xB−xAyB−yA)\boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix}}AB(xB​−xA​yB​−yA​​)​
  dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
.
Exemple
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(−2 ;5)\text A \left( \color{green}{-2}~ ; \color{red}{5} \right)A(−2 ;5)
 et
B(3 ;−2)\text B \left( \color{blue}{3} ~; \color{orange}{-2} \right)B(3 ;−2)
.
Alors on a
AB→(xB−xAyB−yA)  ⟺  AB→(3−(−2)−2−5)  ⟺  AB→(5−7)\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}}\\ \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}} \end{pmatrix} \iff \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} \color{blue}{3} - (\color{green}{-2})\\ \color{orange}{-2} - \color{red}{5} \end{pmatrix} \iff \boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -7 \end{pmatrix}}AB(xB​−xA​yB​−yA​​)⟺AB(3−(−2)−2−5​)⟺AB(5−7​)​