Milieu d'un segment, norme d'un vecteur et distance entre deux points

Propriété
On se place dans un repère

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan.
On considère deux points

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)

.
Lemilieudu segment

[\text{AB}]

 est le point

\boxed{\text M \left(\dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)}

.

Démonstration
Dans un repère

\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan, on considère deux points

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)

.
Soit

\text M\left( x_{\text M} ; y_{\text M} \right)

 le milieu du segment

[\text{AB}]

. Alors le point 

\text M

vérifie l'égalité

\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}

.
Or, on a

\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x_{\text M} - x_{\text A}\\ y_{\text M} - y_{\text A} \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text{MB}} \begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text M}\\ y_{\text B} - y_{\text M} \end{pmatrix}

.
Les vecteurs

\overrightarrow{\text{AM}}

et

\overrightarrow{\text{MB}}

 étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées.
On obtient le système suivant :

\begin{cases} x_{\text M} - x_{\text A} = x_{\text B} - x_{\text M} \\ y_{\text M} - y_{\text A} = y_{\text B} - y_{\text M} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} 2 \times x_{\text M} = x_{\text A} + x_{\text B} \\ 2 \times y_{\text M} = y_{\text A} + y_{\text B} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} x_{\text M} = \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} \\ y_{\text M} = \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \\ \end{cases}

On peut conclure que

\boxed{\text M \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2}\right)}

.

Exemple
Dans un repère

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan, on considère deux points

\text A \left( \color{green}{-1}~ ; \color{red}{5}\right)

et

\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)

.
On détermine les coordonnées du point

\text M

, milieu du segment

[\text{AB}]

.
Alors on a

\text M \left( \dfrac{\color{green}{x_{\text A}} + \color{blue}{x_{\text B}}}{2} ; \dfrac{\color{red}{y_{\text A}} + \color{orange}{y_{\text B}}}{2} \right)

soit 

\text M \left( \dfrac{\color{green}{-1} + \color{blue}{3}}{2} ; \dfrac{\color{red}{5} + (\color{orange}{-7})}{2} \right)

soit

\boxed{\text M \left( 1~ ; -1 \right)}

.

Méthode
Dans un repère

\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan, on considère deux points

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)

.
On demande si un point

\text M

 de coordonnées données est le milieu du segment

[\text{AB}]

.

1.On appelle 

\text K

le milieu du segment

[\text{AB}]

et on calcule ses coordonnées.

2.On compare les coordonnées du point

\text K

 avec celles du point

\text M

.

3.On conclut : si les coordonnées des points

\text M

et

\text K

 sont égales, alors les points 

\text M

et

\text K

 sontconfonduset le point

\text M

 est le milieu du segment

[\text{AB}]

 ; sinon, le point

\text M

 n'est pas le milieu du segment

[\text{AB}]

.

Énoncé
Dans un repère

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan, on considère trois points

\text A \left( -3~ ; 5 \right)

,

\text B \left( 1~ ; 7 \right)

et

\text C \left( 9~ ; -1 \right)

.
1.Le point

\text M \left( -1~ ; 6 \right)

 est-il le milieu du segment

[\text{AB}]

?

2.Le point

\text N \left( 2~ ; 3 \right)

 est-il le milieu du segment

[\text{AC}]

?

Solution
1.On appelle

\text K

 le milieu du segment

[\text{AB}]

. Alors on a

\text K \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)

.
Donc

\text K \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{5 + 7}{2} \right)

 soit

\text K \left( -1~; 6 \right)

. Les points

\text K

et

\text M

 sont confondus.
Donc le point

\text M

 est le milieu du segment

[\text{AB}]

.

2.On appelle

\text L

 le milieu du segment

[\text{AC}]

. Alors on a

\text L \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text C}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text C}}{2} \right)

.
Donc

\text L \left( \dfrac{-3 + 9}{2} ; \dfrac{5 + (-1)}{2} \right)

 soit

\text L \left( 3~ ; 2 \right)

. Les points

\text L

et

\text N

 ne sont pas confondus.
Donc le point

\text N

 n'est pas le milieu du segment

[\text{AC}]

.

Propriété
Dans une baseorthonormée

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 du plan, on considère un vecteur

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}

.
La norme du vecteur

\overrightarrow{u}

 est donnée par

\boxed{\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}}

.

Exemple

Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ -2\\ \end{pmatrix}

. On a

\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}

.

Propriété
Dans un repèreorthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

, on considère deux points

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)

.
Ladistanceentre les points

\text A

et

\text B

 est donnée par 

\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}

.

Démonstration(partielle)

Dans un repèreorthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

, on considère deux points

\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)

et

\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)

.
Supposons que

0 \leqslant x_{\text A} < x_{\text B}

et

0 \leqslant y_{\text A} <y_{\text B}

(la démonstration est analogue dans les autres cas).
On pose

\text C \left(x_{\text B} ; y_{\text A} \right)

.
Ainsi, le triangle

\text{ABC}

 est rectangle en

\text C

 et on a

\text{AC} = x_{\text B} - x_{\text A}

et

\text{BC} = y_{\text B} - y_{\text A}

.

D'après le théorème de Pythagore, on a

\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2

 soit

\text{AB}^2 = \left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 + \left( y_{\text B} - y_{\text A} \right)^2

.
Une distance étant positive, on obtient :

\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}

.

Exemple
Dans un repèreorthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

, on considère deux points

\text A \left( \color{green}{-1} ~; \color{red}{5}\right)

et

\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)

.
On a

\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right)^2 +\left( \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right)^2}

soit

\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{3} - (\color{green}{-1}) \right)^2 +\left( \color{orange}{-7} - \color{red}{5}\right)^2}

soit

\boxed{\text{AB} = 4\sqrt{10}}

.